ベクトルの計算問題

■問題

座標平面において，点 $\text{Q}$ と点 $\text{R}$ があり， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{q}=\left(1,4\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OR}}=}$ ${\displaystyle \overrightarrow{r}=\left(3,1\right)}$ とする．以下に示す条件を満たす点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ の範囲を求めよ．ただし，${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{\text{OP}}}$ とする．

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+2t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s+t\leqq \frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle s\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t\geqq 0}$

■答

点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ は，原点 $\text{O}$ ，点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},2\right)}$ ，点 $\left(3,1\right)$ の3点を頂点とする 三角形上にある．

■ヒント

点が三角形上にあるための条件を参考する．

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+2t\overrightarrow{r}}$ ･･････(1)

${\displaystyle s+t\leqq \frac{1}{2}}$ ･･････(２)

とおく

(２)を以下のような式に書き換える．

${\displaystyle s+t=k}$ ･･････(3)

${\displaystyle 0\leqq k\leqq \frac{1}{2}}$ ･･････(4)

(3)より

${\displaystyle s=k-t}$ ･･････(5)

(5)を(1)に代入すると

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(k-t\right)\overrightarrow{q}+2t\overrightarrow{r}}$ ･･････(6)

となる．(6)を以下のように式変形する．

${\displaystyle \overrightarrow{p}=k\overrightarrow{q}-t\overrightarrow{q}+2t\overrightarrow{r}}$

${\displaystyle \overrightarrow{p}=k\overrightarrow{q}+t\left(2\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}\right)}$ ･･････(7)

(7)は点 ${\displaystyle \text{A}\left(k\overrightarrow{q}\right)}$ を通り，方向ベクトルが ${\displaystyle 2\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}}$ を通る直線のベクトル方程式である．

(7)と $t$ の範囲から点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ が存在する直線の範囲を求める．

(3)と ${\displaystyle s\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t\geqq 0}$ より

${\displaystyle 0\leqq t\leqq k}$ ･･････(8)

となる．

◇ ${\displaystyle t=0}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{p}=k\overrightarrow{q}}$ ･･････(9)

${\displaystyle t=k}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{p}=k\overrightarrow{q}+k\left(2\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}\right)}$ ${\displaystyle =k\left(2\overrightarrow{r}\right)}$ ･･････(10)

(7)，(8)，(9)より

点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ は，点 ${\displaystyle \text{A}\left(k\overrightarrow{q}\right)}$ と点 ${\displaystyle \text{B}\left(k\left(2\overrightarrow{r}\right)\right)}$ を結ぶ線分上にある．　･･････(11)

(4)より

点 ${\displaystyle \text{A}\left(k\overrightarrow{q}\right)}$ は原点 $\text{O}$ から点 ${\displaystyle {\text{Q}}^{\prime }\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{q}\right)}$ の間に， ${\displaystyle \text{B}\left(k\left(2\overrightarrow{r}\right)\right)}$ は原点 $\text{O}$ から点 ${\displaystyle \text{R}\left(\overrightarrow{r}\right)}$ にある．ただし，点 ${\displaystyle {\text{Q}}^{\prime }}$ の座標は ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},2\right)}$ ，点 ${\displaystyle \text{R}}$ の座標は $\left(3,1\right)$ である． ･･････(12)

(11)，(12)より

点 ${\displaystyle \text{P}\left(\overrightarrow{p}\right)}$ は，原点 $\text{O}$ ，点 ${\displaystyle \left(\frac{1}{2},2\right)}$ ，点 $\left(3,1\right)$ の3点を頂点とする 三角形上にある．　･･････(13)

●参考

条件

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+2t\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s+t\leqq \frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle s\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t\geqq 0}$ ･･････(14)

において， ${\displaystyle s=\frac{1}{2}{s}^{\prime }}$ ， ${\displaystyle t=\frac{1}{2}{t}^{\prime }}$ とおくと，(14)は以下のようになる，

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s^{\prime }\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{q}\right)+t^{\prime }\overrightarrow{r}}$ ， ${\displaystyle s^{\prime }+t^{\prime }\leqq 1}$ ， ${\displaystyle s^{\prime }\geqq 0}$ ， ${\displaystyle t^{\prime }\geqq 0}$ ･･････(15)

点が三角形上にあるための条件 と(15)より（13)が得られる．

　

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最終更新日： 2025年11月14日