ベクトルを用いた直線の方程式

●法線ベクトルを用いた直線のベクトル方程式

点 $\text{Q}$ を通りベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ (法線ベクトル)に垂直な直線上の点を点 $\text{P}$ とする．点 $\text{Q}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{q}}$ ，点 $\text{P}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}}$ ， とすると直線のベクトル方程式は

${\displaystyle \overrightarrow{n}\cdot \left(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\right)=0}$　（${\displaystyle \overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}}$ ）

となる．

●方向ベクトルを用いた直線のベクトル方程式

点 $\text{Q}$を通りベクトル${\displaystyle \overrightarrow{d}}$ (方向ベクトル)に平行な直線上の点を点 $\text{P}$とする．点$\text{Q}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{q}}$，点$\text{P}$の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}}$ とすると直線のベクトル方程式は

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{d}}$　（${\displaystyle \overrightarrow{d}\ne \overrightarrow{0}}$，${\displaystyle t}$ は実数の変数 ）

となる．

●2点を通る直線のベクトル方程式

点$\text{Q}$と点$\text{R}$の2点を通る直線上の点を$\text{P}$とする．点$\text{Q}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{q}}$点$\text{R}$ の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{r}}$，点$\text{P}$の位置ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{p}}$ とすると直線のベクトル方程式は

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\overrightarrow{q}+t\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{q}\right)}$ ( ${\displaystyle t}$ は実数の変数)

${\displaystyle \overrightarrow{p}=\left(1-t\right)\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$

と表すことができる．また$1-t=s$とおくと

${\displaystyle \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{q}+t\overrightarrow{r}}$　(${\displaystyle s+t=1}$ )

となる．