ベクトルの計算問題

■問題

点 ${\displaystyle \left(3,2\right)}$ と直線 ${\displaystyle \left(x,y\right)=t\left(1,2\right)+\left(0,1\right)}$ の距離を求めよ． $t$ は媒介変数である．

■解説動画

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■答

${\displaystyle \sqrt{5}}$

■ヒント

点と直線の距離を参照

■解説

点 ${\displaystyle \left(3,2\right)}$ を $\text{P}$ ，点 直線 ${\displaystyle \left(x,y\right)=t\left(1,2\right)+\left(0,1\right)}$ 上の点を点 $\text{Q}$ とする．

求める距離は，線分 $\text{PQ}$ の最小値，言い換えると，線分 $\text{PQ}$ と直線が垂直な関係になったときの線分 $\text{PQ}$ の長さである．この条件を式で表すことにする．

直線の方向ベクトルを ${\displaystyle \overrightarrow{d}}$ とすると

${\displaystyle \overrightarrow{d}=\left(1,2\right)}$ ･･････(1)

一方

${\displaystyle \overrightarrow{\text{PQ}}=\overrightarrow{\text{OQ}}-\overrightarrow{\text{OP}}}$

${\displaystyle =\left(x,y\right)-\left(1,2\right)}$

${\displaystyle =t\left(1,2\right)+\left(0,1\right)-\left(3,2\right)}$

${\displaystyle =\left(t-3,2t-1\right)}$ ･･････(2)

である．

${\displaystyle \overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{\text{PQ}}=0}$ ･･････(3)

(内積がセロ) のとき，直線が垂直な関係になる．すなわち，求める距離は(3)を満たす ${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{PQ}}\right|}$ の値である．

(3)より

${\displaystyle \left(1,2\right)\cdot \left(t-3,2t-1\right)=0}$

${\displaystyle 1\cdot \left(t-3\right)+2\left(2t-1\right)=0}$

${\displaystyle 5t-5=0}$

${\displaystyle t=1}$ ･･････(4)

となる．(4)を(2)に代入する．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{PQ}}=\left(t-3,2t-1\right)}$ ${\displaystyle =\left(1-3,2\cdot 1-1\right)}$ ${\displaystyle =\left(-2,1\right)}$

よって

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{PQ}}\right|=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{5}}$

が求める距離である．

スライダーの横バーの中にある〇印をドラッグして左右に動かすと $t$ の値が変化する．

●別解1

直線 ${\displaystyle \left(x,y\right)=t\left(1,2\right)+\left(0,1\right)}$ は，傾きが $2$ で， $x$ 切片が $1$ の直線である．よって，直線の式は

${\displaystyle y=2x+1}$ ･･････(5)

${\displaystyle 2x-y+1=0}$ ･･････(6)

となる．点と直線の距離を求める公式

${\displaystyle \frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ ･･････(7)

を用いると

${\displaystyle \frac{\left|2\cdot 3-1\cdot 2+1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|5\right|}{\sqrt{5}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{5}}$

となる．

別解2

円と直線の関係より，点 ${\displaystyle \left(3,2\right)}$ を中心とする円と直線が接するときの円の半径が求める距離になる．

点 ${\displaystyle \left(3,2\right)}$ を中心とする半径 $r$ の円の方程式は

${\displaystyle {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=r^2}$ ･･････(8)

となる．

円と直線が接するということは，(5)と(8)からなる連立方程式の解がただ1つ存在することである．言い換えると，(5)を(8)に代入した方程式が重解を持つ場合である．(5)を(8)に代入する．

${\displaystyle {\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=r^2}$

${\displaystyle {\left(x-3\right)}^2+{\left(2x+1-2\right)}^2=r^2}$

${\displaystyle {\left(x-3\right)}^2+{\left(2x-1\right)}^2=r^2}$

${\displaystyle x^2-6x+9+4x^2-4x+1=r^2}$

${\displaystyle 5x^2-10x+10-r^2=0}$ ･･････(9)

と整理できる．(9)が重解を持つことより

${\displaystyle {D/4=\left(-5\right)}^2-5\left(10-r^2\right)=0}$

${\displaystyle 25-50+5r^2=0}$

${\displaystyle r^2=5}$

${\displaystyle r=\sqrt{5}}$ （∵ ${\displaystyle r>0}$ ）

以上より， ${\displaystyle \sqrt{5}}$ が求める答である．

　

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最終更新日： 2026年1月8日