垂線の長さ (点と直線の距離)
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垂線の長さ(点と直線の距離)

( x 0 , y 0 ) から直線 ax+by+c=0への垂線の長さは,
(言い換えると 点 ( x 0 , y 0 ) と直線 ax+by+c=0 との距離は,)

| a x 0 +b y 0 +c | a 2 + b 2

となる.

■導出計算

( x 0 , y 0 ) をP点とする.このP点から直線 ax+by+c=0へ下ろした垂線の足を点Qとし,その座標を ( x 1 , y 1 ) をとする.垂線の長さPQは,

PQ=| PQ |= ( x 1 x 0 ) 2 + ( y 1 y 0 ) 2    ( PQ =( x 1 x 0 , y 1 y 0 ) ) ・・・・・・(1)

次に,直線の方向ベクトル m を求める.

y= a b x c b より
m =( 1, a b )

m PQ のなす角は90°より,

PQ · m =( x 1 x 0 )·1+( y 1 y 0 )·( a b )=0

よって,

x 1 x 0 =( y 1 y 0 )·( a b )   ・・・・・・(2)

(1)に(2)を代入すると,

PQ = { ( y 1 y 0 )·( a b ) } 2 + ( y 1 y 0 ) 2 = ( y 1 y 0 ) 2 a 2 + b 2 b 2   ・・・・・・(3)

次に, y 1 の消去を図る.点Qが直線上にあることより,

a x 1 +b y 1 +c=0

よって,

x 1 = b a y 1 c a   ・・・・・・(4)

(4)を(2)に代入すると,

b a y 1 c a x 0 =( y 1 y 0 )·( a b )
( b a a b ) y 1 = x 0 a b y 0 + c a
a 2 + b 2 ab y 1 = x 0 a b y 0 + c a
y 1 = 1 a 2 + b 2 ( ab x 0 a 2 y 0 +bc )

よって,

y 1 y 0 = 1 a 2 + b 2 ( ab x 0 a 2 y 0 +bc ) y 0 = 1 a 2 + b 2 ( ab x 0 + b 2 y 0 +bc ) = b a 2 + b 2 ( a x 0 +b y 0 +c )   ・・・・・・(5)

(5)を(3)代入して,

PQ= | a x 0 +b y 0 +c | a 2 + b 2

が得られる.

 

別解

 

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初版:2004年7月8日,最終更新日: 2012年5月10日

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