垂線の長さ（点と直線の距離）その２

点${\displaystyle \left(x_0,y_0\right)}$から直線 ${\displaystyle ax+by+c=0}$への垂線の長さ（言い換えると 点 ${\displaystyle \left(x_0,y_0\right)}$と直線 $ax+by+c=0$との距離）は

${\displaystyle \frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

となる．

■導出計算

直線${\displaystyle \ell }$と点${\displaystyle \text{P}}$ の距離を求める．

直線 ${\displaystyle \ell }$の方程式は${\displaystyle ax+by+c=0}$で， 点${\displaystyle {\text{P}}^{\prime }}$の座標は ${\displaystyle \left(x_0,y_0\right)}$で ある． 点${\displaystyle \text{P}}$から直線 ${\displaystyle \ell }$に垂線を下ろし，直線${\displaystyle \ell }$との交点を${\displaystyle \text{H}}$とする． 線分${\displaystyle \text{PH}}$の長さが直線${\displaystyle \ell }$と点${\displaystyle \text{P}}$の距離である．(図1)

計算を簡単にするために，点${\displaystyle \text{P}}$と直線${\displaystyle \ell }$を${\displaystyle x}$軸方向に${\displaystyle -x_0}$，${\displaystyle y}$軸方向に ${\displaystyle -y_0}$ 平行移動し，点 ${\displaystyle \text{P}}$を原点に重ねる． 直線${\displaystyle \ell }$は，平行移動により

${\displaystyle a\left(x+x_0\right)+b\left(y+y_0\right)+c=0}$・・・・(1)

で表わされる直線${\displaystyle {\ell }^{\prime }}$に移る． また，点${\displaystyle \text{H}}$は点${\displaystyle {\text{H}}^{\prime }}$に移る．(図2)

平行移動しただけであるので

${\displaystyle \text{OH}={\text{OH}}^{\prime }}$

である．

直線${\displaystyle {\ell }^{\prime }}$と${\displaystyle x}$軸の交点を${\displaystyle \text{Q}}$とする． 直線${\displaystyle {\ell }^{\prime }}$の傾きと等しく

${\displaystyle ax+by+c=0}$

${\displaystyle by=-ax-c}$

${\displaystyle y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}}$

より，${\displaystyle -\frac{a}{b}}$である．

線分${\displaystyle {\text{OH}}^{\prime }\perp {\ell }^{\prime }}$ より線分${\displaystyle {\text{OH}}^{\prime }}$の傾きを${\displaystyle m}$とすると

${\displaystyle m\left(-\frac{a}{b}\right)=-1}$　　(垂直に交わる条件を参照)

となり

${\displaystyle m=\frac{b}{a}}$

となる．

よって，線分${\displaystyle {\text{OH}}^{\prime }}$に平行なベクトルを${\displaystyle \overrightarrow{a}}$とすると

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(a,b\right)}$

である．

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$と${\displaystyle \overrightarrow{\text{OQ}}}$のなす角を${\displaystyle \theta }$とすると

${\displaystyle {\text{OH}}^{\prime }=\text{OQ}\cos \theta }$・・・・(2)

となる．${\displaystyle \overrightarrow{a}}$が${\displaystyle \overrightarrow{\text{OH}}}$と逆向きの場合もある(図3)．その場合

${\displaystyle {\text{OH}}^{\prime }=\text{OQ}\cos \left({180}^{\circ }-\theta \right)}$

${\displaystyle =\text{OQ}\left(-\cos \theta \right)}$・・・・(3)

となる．よって(2)，(3)より

${\displaystyle {\text{OH}}^{\prime }=\text{OQ}\left|\cos \theta \right|}$

となる．

点${\displaystyle \text{Q}}$の座標を求める．(1)において，${\displaystyle y=0}$より

${\displaystyle a\left(x+x_0\right)+b{y}_0+c=0}$

${\displaystyle a\left(x+x_0\right)=-b{y}_0-c}$

${\displaystyle x+x_0=-\frac{b}{a}{y}_0-\frac{c}{a}}$

${\displaystyle x=-x_0-\frac{b}{a}{y}_0-\frac{c}{a}}$

よって点${\displaystyle \text{Q}}$の座標は

${\displaystyle \left(-x_0-\frac{b}{a}{y}_0-\frac{c}{a},0\right)}$

である．

${\displaystyle cos\theta =\frac{\stackrel{⟶}{a}\cdot \stackrel{⟶}{\text{OQ}}}{\left|\stackrel{⟶}{a}\right|\left|\stackrel{⟶}{\text{OQ}}\right|}}$

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OQ}}=\left(-x_0-\frac{b}{a}{y}_0-\frac{c}{a},0\right)}$

${\displaystyle \text{OQ}=\left|\stackrel{⟶}{\text{OQ}}\right|}$

より

${\displaystyle {\text{OH}}^{\prime }=\left|\overrightarrow{\text{OQ}}\right|\left|\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\text{OQ}}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{\text{OQ}}\right|}\right|}$${\displaystyle =\frac{\left|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\text{OQ}}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}}$${\displaystyle =\frac{\left|\left(a,b\right)\cdot \left(-x_0-\frac{b}{a}{y}_0-c,0\right)\right|}{\left|\left(a,b\right)\right|}}$ ${\displaystyle =\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

●別解

 

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最終更新日： 2023年2月22日