グラフを平行移動した関数

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$  のグラフを $x$ 軸方向に $a$ ， $y$  軸方向に $b$ 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）したグラフを表す関数は

${\displaystyle y-b=f\left(x-a\right)}$　･･････(1)

となる．

ポイント：$x$ 軸方向に$a$，$y$ 軸方向に$b$ 平行移動した関数とは元の関数の$x$ を${\displaystyle x-a}$ に，$y$ を${\displaystyle y-b}$ に書き換えたものになる．

■式の導出

平行移動の考え方を具体的に説明する．

まず

$y=x$　･･････(2)  

の直線のグラフについて考える． 

●$x$ 軸方向に平行移動したグラフを表す関数

例えば，${\displaystyle y=x}$ のグラフを$x$ 軸方向に4平行移動したグラフを表す関数を求める． 

${\displaystyle y=x}$上の点$\text{P}$を$x$ 軸方向に4平行移動したものを点$\text{Q}$とし，点$\text{P}$，$\text{Q}$の座標をそれぞれ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ，$\left(x,y\right)$ とする．点$\text{Q}$の$x$ 座標の値は点$\text{P}$の$x$ 座標の値$r$ に4を加えたものとなり，点$\text{Q}$の$y$ 座標の値は点$\text{P}$の$y$ 座標の値$s$ のままである．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r+4\\ y=s\end{array}\to }$ ${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(r+4,s\right)}$　･･････(3)

の関係がある．これは点$\text{Q}$を点$\text{P}$の座標の値を用いて表しているが，逆に点$\text{P}$の座標を，点$\text{Q}$の座標の値$x$ ，$y$ を使って表すと

${\displaystyle \{\begin{array}{l}r=x-4\\ s=y\end{array}\to }$ ${\displaystyle \left(r,s\right)=\left(x-4,y\right)}$　･･････(4)

となる．点$\text{P}$は${\displaystyle y=x}$ 上の点であるので

${\displaystyle r=s}$　･･････(5)     

の関係がある．(5)の$r$ と$s$に(4)の${\displaystyle r=x-4}$ ，${\displaystyle s=y}$  の関係を代入すると

${\displaystyle y=\left(x-4\right)}$　･･････(6)  

となる．(6)は$x$ と$y$の関係を表している．すなわち，この(6)が(2)の${\displaystyle y=x}$  のグラフを$x$ 軸方向に4平行移動したグラフを表す関数である．  

ポイント： $x$ 軸方向に4平行移動した関数とは元の関数の$x$ を${\displaystyle x-4}$ に書き換えたものになる．

●$y$ 軸方向に平行移動したグラフを表す関数

例えば，${\displaystyle y=x}$ のグラフを$y$ 軸方向に4平行移動したグラフを表す関数を求める． 

${\displaystyle y=x}$上の点$\text{P}$を$y$ 軸方向に4平行移動したものを点$\text{Q}$とし，点$\text{P}$，$\text{Q}$の座標をそれぞれ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ，$\left(x,y\right)$ とする．点$\text{Q}$の$x$ 座標の値は点$\text{P}$の$x$ 座標の値$r$ のままであり，点$\text{Q}$の$y$ 座標の値は点$\text{P}$の$y$ 座標の値$s$ に4を加えたものとなる．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r\\ y=s+4\end{array}\to \left(x,y\right)=\left(r,s+4\right)}$ 　･･････(7)

の関係がある．これは点$\text{Q}$を点$\text{P}$の座標の値を用いて表しているが，逆に点$\text{P}$の座標を，点$\text{Q}$の座標の値$x$ ，$y$ を使って表すと

となる．点$\text{P}$は${\displaystyle y=x}$ 上の点であるので

${\displaystyle r=s}$　･･････(5)     

の関係がある．(5)の$r$ と$s$に(8)の${\displaystyle r=x}$ ，${\displaystyle s=x-4}$ の関係を代入すると

${\displaystyle \left(y-4\right)=x}$ 　･･････(9)  

となる．(9)は$x$ と$y$の関係を表している．すなわち，この(9)が(2)の${\displaystyle y=x}$ のグラフを$y$ 軸方向に4平行移動したグラフを表す関数である．  

ポイント： $y$ 軸方向に4平行移動した関数とは元の関数の$y$ を${\displaystyle y-4}$ に書き換えたものになる．

以上の基本的な考え方を基にして

●$x$ 軸方向と$y$ 軸方向の平行移動を組み合わせたグラフを表す関数

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを$x$ 軸方向に$a$，$y$ 軸方向に$b$ 平行移動したグラフを表す関数を求める． 

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ 上の点$\text{P}$を$x$ 軸方向に$a$，$y$ 軸方向に$b$ 平行移動したものを点$\text{Q}$とし，点$\text{P}$，$\text{Q}$の座標をそれぞれ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ，$\left(x,y\right)$ とする．点$\text{Q}$の$x$ 座標の値は点$\text{P}$の$x$ 座標の値$r$ に$a$ を加えたものとなり，点$\text{Q}$の$y$ 座標の値は点$\text{P}$の$y$ 座標の値$s$ に$b$ を加えたものとなる．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r+a\\ y=s+b\end{array}\to \left(x,y\right)=\left(r+a,s+b\right)}$ 　･･････(10)

の関係がある．これは点$\text{Q}$を点$\text{P}$の座標の値を用いて表しているが，逆に点$\text{P}$の座標を，点$\text{Q}$の座標の値$x$ ，$y$ を使って表すと

${\displaystyle \{\begin{array}{l}r=x-a\\ s=y-b\end{array}\to \left(r,s\right)=\left(x-a,y-b\right)}$ 　･･････(11)

となる．点$\text{P}$は${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ 上の点であるので

${\displaystyle s=f\left(r\right)}$ 　･･････(12)

の関係がある．この(12)の$r$ と$s$に(11)の${\displaystyle r=x-a}$ ，${\displaystyle s=x-b}$ の関係を代入すると

${\displaystyle y-b=f\left(x-a\right)}$ 　･･････(1)  

となる．(1)は$x$ と$y$の関係を表している．すなわち，この(1)が$y=f\left(x\right)$ のグラフを$x$ 軸方向に$a$，$y$ 軸方向に$b$ 平行移動したグラフを表す関数である．  

 

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最終更新日： 2023年10月31日