グラフを平行移動した関数

関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$  のグラフを $x$ 軸方向に $a$ ， $y$  軸方向に $b$ 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）したグラフを表す関数は

${\displaystyle y-b=f\left(x-a\right)}$ ･･････(1)

となる．

ポイント： $x$ 軸方向に $a$ ， $y$ 軸方向に $b$ 平行移動した関数とは元の関数の $x$ を ${\displaystyle x-a}$ に， $y$ を ${\displaystyle y-b}$ に書き換えたものになる．

■式の導出

平行移動の考え方を具体的に説明する．

まず

$y=x$ ･･････(2)  

の直線のグラフについて考える． 

● $x$ 軸方向に平行移動したグラフを表す関数

例えば， ${\displaystyle y=x}$ のグラフを $x$ 軸方向に4平行移動したグラフを表す関数を求める． 

${\displaystyle y=x}$ 上の点 $\text{P}$ を $x$ 軸方向に4平行移動したものを点 $\text{Q}$ とし，点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ， $\left(x,y\right)$ とする．点 $\text{Q}$ の $x$ 座標の値は点 $\text{P}$ の $x$ 座標の値 $r$ に4を加えたものとなり，点 $\text{Q}$ の $y$ 座標の値は点 $\text{P}$ の $y$ 座標の値 $s$ のままである．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r+4\\ y=s\end{array}\to }$   ${\displaystyle \left(x,y\right)=\left(r+4,s\right)}$ ･･････(3)

の関係がある．これは点 $\text{Q}$ を点 $\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $\text{P}$ の座標を，点 $\text{Q}$ の座標の値 $x$ ， $y$ を使って表すと

${\displaystyle \{\begin{array}{l}r=x-4\\ s=y\end{array}\to }$   ${\displaystyle \left(r,s\right)=\left(x-4,y\right)}$ ･･････(4)

となる．点 $\text{P}$ は ${\displaystyle y=x}$ 上の点であるので

${\displaystyle r=s}$ ･･････(5)     

の関係がある．(5)の $r$ と $s$ に(4)の ${\displaystyle r=x-4}$ ， ${\displaystyle s=y}$  の関係を代入すると

${\displaystyle y=\left(x-4\right)}$ ･･････(6)  

となる．(6)は $x$ と $y$ の関係を表している．すなわち，この(6)が(2)の ${\displaystyle y=x}$  のグラフを $x$ 軸方向に4平行移動したグラフを表す関数である．  

ポイント： $x$ 軸方向に4平行移動した関数とは元の関数の $x$ を ${\displaystyle x-4}$ に書き換えたものになる．

● $y$ 軸方向に平行移動したグラフを表す関数

例えば， ${\displaystyle y=x}$ のグラフを $y$ 軸方向に4平行移動したグラフを表す関数を求める． 

${\displaystyle y=x}$ 上の点 $\text{P}$ を $y$ 軸方向に4平行移動したものを点 $\text{Q}$ とし，点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ， $\left(x,y\right)$ とする．点 $\text{Q}$ の $x$ 座標の値は点 $\text{P}$ の $x$ 座標の値 $r$ のままであり，点 $\text{Q}$ の $y$ 座標の値は点 $\text{P}$ の $y$ 座標の値 $s$ に4を加えたものとなる．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r\\ y=s+4\end{array}}$${\displaystyle \to \left(x,y\right)=\left(r,s+4\right)}$ ･･････(7)

の関係がある．これは点 $\text{Q}$ を点 $\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $\text{P}$ の座標を，点 $\text{Q}$ の座標の値 $x$ ， $y$ を使って表すと

となる．点 $\text{P}$ は ${\displaystyle y=x}$ 上の点であるので

${\displaystyle r=s}$ ･･････(5)     

の関係がある．(5)の $r$ と $s$ に(8)の ${\displaystyle r=x}$ ， ${\displaystyle s=x-4}$ の関係を代入すると

${\displaystyle \left(y-4\right)=x}$ ･･････(9)  

となる．(9)は $x$ と $y$ の関係を表している．すなわち，この(9)が(2)の ${\displaystyle y=x}$ のグラフを $y$ 軸方向に4平行移動したグラフを表す関数である．  

ポイント： $y$ 軸方向に4平行移動した関数とは元の関数の $y$ を ${\displaystyle y-4}$ に書き換えたものになる．

以上の基本的な考え方を基にして

● $x$ 軸方向と $y$ 軸方向の平行移動を組み合わせたグラフを表す関数

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$ ， $y$ 軸方向に $b$ 平行移動したグラフを表す関数を求める． 

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ 上の点 $\text{P}$ を $x$ 軸方向に $a$ ， $y$ 軸方向に $b$ 平行移動したものを点 $\text{Q}$ とし，点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の座標をそれぞれ ${\displaystyle \left(r,s\right)}$ ， $\left(x,y\right)$ とする．点 $\text{Q}$ の $x$ 座標の値は点 $\text{P}$ の $x$ 座標の値 $r$ に $a$ を加えたものとなり，点 $\text{Q}$ の $y$ 座標の値は点 $\text{P}$ の $y$ 座標の値 $s$ に $b$ を加えたものとなる．すなわち

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=r+a\\ y=s+b\end{array}}$${\displaystyle \to \left(x,y\right)=\left(r+a,s+b\right)}$ ･･････(10)

の関係がある．これは点 $\text{Q}$ を点 $\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $\text{P}$ の座標を，点 $\text{Q}$ の座標の値 $x$ ， $y$ を使って表すと

${\displaystyle \{\begin{array}{l}r=x-a\\ s=y-b\end{array}}$${\displaystyle \to \left(r,s\right)=\left(x-a,y-b\right)}$ ･･････(11)

となる．点 $\text{P}$ は ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ 上の点であるので

${\displaystyle s=f\left(r\right)}$ ･･････(12)

の関係がある．この(12)の $r$ と $s$ に(11)の ${\displaystyle r=x-a}$ ， ${\displaystyle s=x-b}$ の関係を代入すると

${\displaystyle y-b=f\left(x-a\right)}$ ･･････(1)  

となる．(1)は $x$ と $y$ の関係を表している．すなわち，この(1)が $y=f\left(x\right)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$ ， $y$ 軸方向に $b$ 平行移動したグラフを表す関数である．  

 

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最終更新日： 2026年9月6日