2直線が垂直に交わる条件
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2直線が垂直に交わる条件

2つの直線の傾きを m 1 m 2  とすると,垂直に交わる(直交する)ための条件は,

m 1 m 2 =1

である.

参考ページ:2直線のなす角

■証明

m 1 >0, m 2 <0  とする.2つの直線の交点をX,交点Xの右側に y  軸に平行な直線を引き,傾きが m 1 の直線との交点をP,傾きが m 2 の直線との交点をQとする.交点Xを通り, x  軸に平行な直線を引き,直線PQとの交点をRとする.以上のように,点X,P,Q,Rをとると△XRP,△XRQは直角三角形になる.

直線の傾きの定義より

PR XR = m 1  ・・・・・・(1)

QR XR = m 2  ・・・・・・(2)

△XRPが直角三角形より,三平方の定理が成り立つので,

XP 2 =XR 2 + PR 2

= XR 2 + ( XR· m 1 ) 2    (∵(1))

= XR 2 ( 1+ m 1 2 )  ・・・・・・(3)

△XRQが直角三角形より,三平方の定理が成り立つので,

XQ 2 =XR 2 + QR 2

= XR 2 + ( XR· m 2 ) 2     (∵(2))

= XR 2 ( 1+ m 2 2 )  ・・・・・・(4)

2つの直線が垂直に交わると,∠PXQ=90°となり△PXQは直角三角形になる.よって,三平方の定理より,

PQ 2 = XP 2 + XQ 2

  • ( PR+QR ) 2

  • = XR 2 ( 1+ m 1 2 ) + XR 2 ( 1+ m 2 2 )

  •     (∵(3),(4))

  • ( XR· m 1 XR· m 2 ) 2

  • = XR 2 ( 1+ m 1 2 ) + XR 2 ( 1+ m 2 2 )

  •     (∵(1),(2))

  • XR 2 ( m 1 m 2 ) 2

  • = XR 2 ( 1+ m 1 2 ) + XR 2 ( 1+ m 2 2 )

  • ( m 1 m 2 ) 2

  • = ( 1+ m 1 2 ) + ( 1+ m 2 2 )

  • m 1 2 2 m 1 m 2 + m 2 2

  • = 2 + m 1 2 + m 2 2

2 m 1 m 2 =2

m 1 m 2 =1

2直線が垂直に交わると,m 1 m 2 =1 である.

一方,m 1 m 2 =1  ならば,

PQ 2 ( XP 2 + XQ 2 )

= ( PR+QR ) 2 XP 2 XQ 2

  • = ( XR· m 1 XR· m 2 ) 2 XR 2 ( 1+ m 1 2 )

  • XR 2 ( 1+ m 2 2 )

  •     (∵(1),(2),(3),(4))

  • = XR 2 ( m 1 m 2 ) 2 XR 2 ( 1+ m 1 2 )

  • XR 2 ( 1+ m 2 2 )

= ( m 1 m 2 ) 2 ( 1+ m 1 2 ) ( 1+ m 2 2 )

= m 1 2 2 m 1 m 2 + m 2 2 1 m 1 2 1 m 2 2

=2 m 1 m 2 2

=0

よって,

PQ 2 = XP 2 + XQ 2

となり,△PXQにおいて三平方の定理がなりたち,△PXQは直角三角形である.よって,

∠PXQ=90°

すなわち,2直線は垂直に交わる.

以上より,証明された.

 

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最終更新日 2016年3月3日

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