2直線が垂直に交わる条件

2つの直線の傾きを $m_{1}$ $m_{1}$ ， $m_{2}$ $m_{2}$ とすると，垂直に交わる(直交する)ための条件は

$m_{1} m_{2} = - 1$ $m_{1} m_{2} = - 1$

である．

■証明

$m_{1} > 0, m_{2} < 0$ $m_{1} > 0, m_{2} < 0$ とする．2つの直線の交点を $X$ $X$ ，交点 $X$ $X$ の右側に $y$ $y$ 軸に平行な直線を引き，傾きが $m_{1}$ $m_{1}$ の直線との交点を $P$ $P$ ，傾きが $m_{2}$ $m_{2}$ の直線との交点を $Q$ $Q$ とする．交点Xを通り， $x$ $x$ 軸に平行な直線を引き，直線 $PQ$ $PQ$ との交点を $R$ $R$ とする．以上のように，点 $X$ $X$ ， $P$ $P$ ， $Q$ $Q$ ， $R$ $R$ をとると△ $XRP$ $XRP$ ，△ $XRQ$ $XRQ$ は直角三角形になる．

直線の傾きの定義より

$\frac{PR}{XR} = m_{1}$ $\frac{PR}{XR} = m_{1}$ ･･････(1)

$\frac{QR}{XR} = - m_{2}$ $\frac{QR}{XR} = - m_{2}$ ･･････(2)

△XRPが直角三角形より，三平方の定理が成り立つので

${XP}^{2} = {XR}^{2} + {PR}^{2}$ ${XP}^{2} = {XR}^{2} + {PR}^{2}$

$= {XR}^{2} + {(XR \cdot m_{1})}^{2}$ $= {XR}^{2} + {(XR \cdot m_{1})}^{2}$ (∵(1))

$= {XR}^{2} (1 + {m_{1}}^{2})$ $= {XR}^{2} (1 + {m_{1}}^{2})$ ･･････(3)

△ $XRQ$ $XRQ$ が直角三角形より，三平方の定理が成り立つので

${XQ}^{2} = {XR}^{2} + {QR}^{2}$ ${XQ}^{2} = {XR}^{2} + {QR}^{2}$

$= {XR}^{2} + {(- XR \cdot m_{2})}^{2}$ $= {XR}^{2} + {(- XR \cdot m_{2})}^{2}$ (∵(2))

$= {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$ $= {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$ ･･････(4)

2つの直線が垂直に交わると， $∠ PXQ=90 °$ $∠ PXQ=90 °$ となり△ $PXQ$ $PXQ$ は直角三角形になる．よって，三平方の定理より

${PQ}^{2} = {XP}^{2} + {XQ}^{2}$ ${PQ}^{2} = {XP}^{2} + {XQ}^{2}$

${(PR + QR)}^{2}$ ${(PR + QR)}^{2}$
$= {XR}^{2} (1 + {m_{1}}^{2}) + {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$ $= {XR}^{2} (1 + {m_{1}}^{2}) + {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$
(∵(3)，(4))

${(XR \cdot m_{1} - XR \cdot m_{2})}^{2}$ ${(XR \cdot m_{1} - XR \cdot m_{2})}^{2}$
$= {XR}^{2} (1 + {m_{1}}^{2}) + {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$ $= {XR}^{2} (1 + {m_{1}}^{2}) + {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$
(∵(1)，(2))

${XR}^{2} {(m_{1} - m_{2})}^{2}$ ${XR}^{2} {(m_{1} - m_{2})}^{2}$
$= {XR}^{2} (1 + {m_{1}}^{2}) + {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$ $= {XR}^{2} (1 + {m_{1}}^{2}) + {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$

${(m_{1} - m_{2})}^{2}$ ${(m_{1} - m_{2})}^{2}$
$= (1 + {m_{1}}^{2}) + (1 + {m_{2}}^{2})$ $= (1 + {m_{1}}^{2}) + (1 + {m_{2}}^{2})$

${m_{1}}^{2} - 2 m_{1} m_{2} + {m_{2}}^{2}$ ${m_{1}}^{2} - 2 m_{1} m_{2} + {m_{2}}^{2}$
$= 2 + {m_{1}}^{2} + {m_{2}}^{2}$ $= 2 + {m_{1}}^{2} + {m_{2}}^{2}$

$- 2 m_{1} m_{2} = 2$ $- 2 m_{1} m_{2} = 2$

$m_{1} m_{2} = - 1$ $m_{1} m_{2} = - 1$

2直線が垂直に交わると， $m_{1} m_{2} = - 1$ $m_{1} m_{2} = - 1$ である．

一方， $m_{1} m_{2} = - 1$ $m_{1} m_{2} = - 1$ ならば

${PQ}^{2} - ({XP}^{2} + {XQ}^{2})$ ${PQ}^{2} - ({XP}^{2} + {XQ}^{2})$

$= {(PR + QR)}^{2} - {XP}^{2} - {XQ}^{2}$ $= {(PR + QR)}^{2} - {XP}^{2} - {XQ}^{2}$

$= {(XR \cdot m_{1} - XR \cdot m_{2})}^{2}$ $= {(XR \cdot m_{1} - XR \cdot m_{2})}^{2}$ $- {XR}^{2} (1 + m_{1}^{2})$ $- {XR}^{2} (1 + m_{1}^{2})$ $- {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$ $- {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$ (∵(1)，(2)，(3)，(4))

$= {XR}^{2} {(m_{1} - m_{2})}^{2} - {XR}^{2} (1 + {m_{1}}^{2})$ $= {XR}^{2} {(m_{1} - m_{2})}^{2} - {XR}^{2} (1 + {m_{1}}^{2})$ $- {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$ $- {XR}^{2} (1 + {m_{2}}^{2})$

$= {(m_{1} - m_{2})}^{2} - (1 + {m_{1}}^{2}) - (1 + {m_{2}}^{2})$ $= {(m_{1} - m_{2})}^{2} - (1 + {m_{1}}^{2}) - (1 + {m_{2}}^{2})$

$= m_{1}^{2} - 2 m_{1} m_{2} + m_{2}^{2} - 1 - m_{1}^{2}$ $= m_{1}^{2} - 2 m_{1} m_{2} + m_{2}^{2} - 1 - m_{1}^{2}$ $- 1 - m_{2}^{2}$ $- 1 - m_{2}^{2}$

$= - 2 m_{1} m_{2} - 2$ $= - 2 m_{1} m_{2} - 2$

$= 0$ $= 0$

よって

${PQ}^{2} = {XP}^{2} + {XQ}^{2}$ ${PQ}^{2} = {XP}^{2} + {XQ}^{2}$

となり，△ $PXQ$ $PXQ$ において三平方の定理がなりたち，△ $PXQ$ $PXQ$ は直角三角形である．よって

$∠ PXQ=90 °$ $∠ PXQ=90 °$

すなわち，2直線は垂直に交わる．

以上より，証明された．

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最終更新日 2023年2月22日