垂線の長さの問題

■問題

平面 ${\displaystyle x+2y+4z=21}$ に，原点から垂線を降ろした．その垂線の長さを求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle \sqrt{21}}$

■ヒント

平面の方程式から垂線の方程式をつくる．

原点から垂線を降ろし，交わった点の座標を求め，この値から垂線の長さを求める．

あるいは，公式

${\displaystyle \frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$

を使う．

■解説

平面に垂直なベクトルは

${\displaystyle \left(1,2,4\right)}$

(平面の方程式の $x$ ， $y$ ， $z$ の係数が，平面に垂直な法線ベクトルの成分になる．平面の方程式を参照 )

である．よって，原点を通って平面に直交する直線の方程式は

${\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}}$

となる．

${\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}=t}$

とおくと

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\\ z=4t\end{array}}$

(媒介変数を用いた直線の方程式)

となる．これらを平面の方程式に代入すると

${\displaystyle t+2\left(2t\right)+4\left(4t\right)=2}$

${\displaystyle t+4t+16t=21}$

${\displaystyle 21t=21}$

${\displaystyle t=1}$

となる．よって

${\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}=1}$

となり

${\displaystyle x=1,y=2,z=4}$

が得られ，原点から垂線を降ろし交わった点の座標は

${\displaystyle \left(1,2,4\right)}$

となる．

したがって垂線の長さは

${\displaystyle \sqrt{1^2+2^2+4^2}=\sqrt{21}}$

公式を使うと

${\displaystyle \frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$ ${\displaystyle =\frac{\left|1\cdot 0+2\cdot 0+4\cdot 0-21\right|}{\sqrt{1^2+2^2+4^2}}}$ ${\displaystyle =\sqrt{21}}$

となる．

■3D Graph

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月18日