垂線の長さ (点と平面の距離)
KIT数学ナビゲーション
 

垂線の長さ(点と平面の距離)

( x 0 , y 0 , z 0 ) から平面 ax+by+cz+d=0 への垂線の長さは,
(言い換えると 点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) と直線 ax+by+cz+d=0 との距離は,)

| a x 0 +b y 0 +c z 0 +d | a 2 + b 2 + c 2

となる.

■導出計算

( x 0 , y 0 , z 0 ) をP点とする.このP点から平面 ax+by+cz+d=0 へ下ろした垂線の足を点Qとし,その座標を ( x 1 , y 1 , z 1 ) をとする.垂線の長さPQは,2点間の距離となり

PQ = | PQ | = x 1 x 0 2 + y 1 y 0 2 + z 1 z 0 2    ( PQ = ( x 1 x 0 , y 1 y 0 , z 1 z 0 ) ) ・・・・・・(1)

次に, n =( a,b,c ) とおくと

PQ =k n    ( k は実数)  ・・・・・・(2)

と表すことができる.よって,

x 1 x 0 =ka     x 1 = x 0 +ka

y 1 y 0 =kb     y 1 = y 0 +kb

z 1 z 0 =kc     z 1 = z 0 +kc

となり,点Qの座標 ( x 1 , y 1 , z 1 )

( x 1 , y 1 , z 1 )=( x 0 +ka, y 0 +kb, z 0 +kc )  

と表わすことができる.点Qは平面 ax+by+cz+d=0 上の点であることより

a( x 0 +ka )+b( y 0 +k b )+c( y 0 +k c )+d=0   ・・・・・・(3)

が成り立つ.(3)を k について解くと

a x 0 +k a 2 +b y 0 +k b 2 +c y 0 +k c 2 +d=0  

k( a 2 + b 2 + c 2 )=( a x 0 +b y 0 +c y 0 +d )  

k= a x 0 +b y 0 +c y 0 +d a 2 + b 2 + c 2   ・・・・・(4)

なる.(2)と(4)より垂線の長さ | PQ |

| PQ |=| k n |  

=| k || n |  

=| a x 0 +b y 0 +c y 0 +d a 2 + b 2 + c 2 | a 2 + b 2 + c 2  

= | a x 0 +b y 0 +c y 0 +d | a 2 + b 2 + c 2  

となる.

 

 

ホーム>>カテゴリー別分類>>幾何>>垂線の長さ(点と平面の距離)

最終更新日: 2016年6月2日

[ページトップ] 金沢工業大学