2点間の距離

点Pと点Qの2点間の距離，言い換えると線分PQの長さを，2点の座標成分を使って表現する方法を，

• 数直線の場合
• 座標平面の場合
• 座標空間の場合

について述べる．

■数直線の場合

x 軸上に点Pと点Qがあり，その座標成分をそれぞれ x 1 ， x 2 とする．ただし， x 1 < x 2 である．  この場合，線分OPの長さは | x 1 | ，線分 OQの長さは | x 1 | である．

● x 1 >0 かつ x 2 >0 の場合

線分OPの長さは，線分OQの長さから線分OPの長さを差し引いたものとなる．すなわち，

PQ ¯ = OQ ¯ − OP ¯ =| x 2 |−| x 1 |= x 2 − x 1 　･･････(1)  

となる．

● x 1 < 0 かつ x 2 > 0 の場合

線分OPの長さは，線分OQの長に線分OPの長さ加えたものとなる．すなわち，

PQ ¯ = OQ ¯ + OP ¯ =| x 2 |+| x 1 |= x 2 +( − x 1 )= x 2 − x 1 　 ･･････(2)  

となる．

● x 1 < 0 かつ x 2 < 0 の場合

線分OPの長さは，線分OQの長さから線分OPの長さを差し引いたものとなる．すなわち，

PQ ¯ = OQ ¯ − OP ¯ =| x 2 |+| x 1 |=( − x 2 )+( − x 1 )=−( x 2 − x 1 ) 　 ･･････(3)  

となる．

(1)，(2)，(3)は絶対値を使うと，

| x 2 − x 1 |  

となる．また，

| x 2 − x 1 |=| x 1 − x 2 |  

であるので，結局2点間の距離は，ただ単に2点の座標成分の差の絶対値になる．この時，座標成分の大小を考えなくてもよい．

■座標平面の場合

PQは直角三角形PQAの斜辺になる．三平方の定理より，

( PQ ¯ ) 2 = ( AP ¯ ) 2 + ( AQ ¯ ) 2 = | x 2 − x 1 | 2 + | y 2 − y 1 | 2 = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2  

となり，よって

PQ ¯ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2  

となる．

■座標空間の場合

PQは直角三角形PQBの斜辺になる．三平方の定理より，

( PQ ¯ ) 2 = ( BP ¯ ) 2 + ( BQ ¯ ) 2  

となる．BPは直角三角形BAPの斜辺になる．三平方の定理より，

( BP ¯ ) 2 = ( AP ¯ ) 2 + ( AB ¯ ) 2  

となる．したがって，

( PQ ¯ ) 2 = ( AP ¯ ) 2 + ( AB ¯ ) 2 + ( BQ ¯ ) 2  

PQ ¯ = ( AP ¯ ) 2 + ( AB ¯ ) 2 + ( BQ ¯ ) 2 = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2  

となる．

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初版：2007年11月22日，最終更新日： 2015年4月7日