ベクトルの計算問題

■問題

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,3\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(4t+3,2t-1\right)}$ とする．

1. $t$ が ${\displaystyle -\infty }$ から ${\displaystyle +\infty }$ に変化したとき， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点の軌跡は直線を描く．どのような直線か答よ．
2. ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が平行な関係になるときの $t$ の値を求めよ．
3. ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が垂直な関係になるときの $t$ の値を求めよ

■解説動画

(1)の解答

(2)の解答

(3)の解答

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■答

1. 傾きが $2$ で，点 ${\displaystyle \left(3,-1\right)}$ を通る直線．

   式で表すと

   ${\displaystyle y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}$

   となる．
2. ${\displaystyle t=-\frac{11}{8}}$
3. ${\displaystyle t=-\frac{3}{14}}$

■ヒント

1. 平面における直線の方程式を参照
2. ベクトルの平行条件を参照
3. ベクトルの直交(垂直)条件を参照

■解説

●(1)の解説

${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(4t+3,2t-1\right)}$ ${\displaystyle =2t\left(2,1\right)+\left(3,-1\right)}$ ･･････(1)

(1)より， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点の軌跡は

方向ベクトルが ${\displaystyle \left(2,1\right)}$ で，点 ${\displaystyle \left(3,-1\right)}$ を通る直線　･･････(i)

になる．

${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(x,y\right)}$ とおくと

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=4t+3･･････\text{(2)}\\ y=2t-1･･････\text{(3)}\end{array}\right.}$ （ $t$ は媒介変数）

の関係がある．(2)より

${\displaystyle t=\frac{x-3}{4}}$ ･･････(4)

(4)を(3)に代入する．

${\displaystyle y=2\left(\frac{x-3}{4}\right)-1}$

${\displaystyle y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}}$ ･･････(4)

(4)は

傾きが $2$ で $y$ 切片が ${\displaystyle -\frac{5}{2}}$ の直線　･･････(ii)

を表す．

(i)，(ii)より， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ の終点の軌跡は

傾きが $2$ で，点 ${\displaystyle \left(3,-1\right)}$ を通る直線　･･････(iii)

を描くとも表現できる．

●(2)の解説

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が平行な関係であると

${\displaystyle \overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}}$ （ ${\displaystyle k}$ は定数） ･･････(5)

である．よって

${\displaystyle \left(4t+3,2t-1\right)=k\left(2,3\right)}$ ･･････(6)

関係より，連立方程式

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}4t+3=2k･･････\text{(7)}\\ 2t-1=3k･･････\text{(8)}\end{array}\right.}$

が得られる．この連立方程式を解く．

(7)×3－(8)×2より

${\displaystyle 8t+11=0}$

${\displaystyle t=-\frac{11}{8}}$ ･･････(9)

(8)に(9)を代入する．

${\displaystyle 2\left(-\frac{11}{8}\right)-1=3k}$

${\displaystyle k=-\frac{5}{4}}$ ･･････(10)

●(3)の解説

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が垂直な関係であると

${\displaystyle \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0}$ ･･････(11)

である．よって

${\displaystyle \left(2,3\right)\cdot \left(4t+3,2t-1\right)=0}$

${\displaystyle 2\left(4t+3\right)+3\left(2t-1\right)=0}$

${\displaystyle 8t+6+6t-3=0}$

${\displaystyle 14t+3=0}$

${\displaystyle t=-\frac{3}{14}}$ ･･････(12)

となる．

スライダーの横バーの中にある〇印をドラッグして左右に動かすと $t$ の値が変化する．

　

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最終更新日： 2026年1月9日