三角形の面積の問題

■問題

空間座標上の3点${\displaystyle \text{A}\left(-1,-1,0\right)}$ ，${\displaystyle \text{B}\left(1,3,4\right)}$ ，${\displaystyle \text{C}\left(3,1,4\right)}$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

■答

${\displaystyle 2\sqrt{17}}$

■ヒント

三角形の面積の公式

${\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{{\left|\stackrel{⟶}{\text{AB}}\right|}^2·{\left|\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right|}^2-{\left(\stackrel{⟶}{\text{AB}}·\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right)}^2}}$

を使う．あるいは

ベクトル${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\text{×}\overrightarrow{\text{AC}}}$の大きさ は，${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ を2辺とする平行四辺形の面積となることを利用する． (外積の定義を参照)

平行四辺形の面積を${\displaystyle S}$ とすると

${\displaystyle S=\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}$

となり，三角形の面積は

${\displaystyle \frac{S}{2}=\frac{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}{2}}$

となる．${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\left(a_x,a_y,a_z\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\left(b_x,b_y,b_z\right)}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$${\displaystyle =\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)}$

(外積の成分表示を参照)

となる．

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}}$ ,${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}}$ の成分を求めると，

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(1,3,4\right)-\left(-1,-1,0\right)=\left(2,4,4\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{AO}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(3,1,4\right)-\left(-1,-1,0\right)=\left(4,2,4\right)}$

となる．

${\displaystyle {\left|\stackrel{⟶}{\text{AB}}\right|}^2=2^2+4^2+4^2}$ ${\displaystyle =36}$

${\displaystyle {\left|\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right|}^2=4^2+2^2+4^2}$ ${\displaystyle =36}$

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{AB}}·\stackrel{⟶}{\text{AC}}=\left(2,4,4\right)\cdot \left(4,2,4\right)}$${\displaystyle =8+8+16}$${\displaystyle =32}$

これらの値を使うと三角形の面積は公式より

${\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{36\times 36-{32}^2}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{{\left(2\times 3\right)}^4-2^{10}}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{2^4\left(3^4-2^6\right)}}$${\displaystyle =2\sqrt{81-64}}$${\displaystyle =2\sqrt{17}}$

となる．

次は，外積を使った方法で三角形の面積を求めてみる．

まず，外積${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$ を求める．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}}$${\displaystyle =\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y,a_z{b}_x-a_x{b}_z,a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)}$ より，

${\displaystyle a_y{b}_z-a_z{b}_y=4\times 4-4\times 2=8}$

${\displaystyle a_z{b}_x-a_x{b}_z=4\times 4-2\times 4=8}$

${\displaystyle a_x{b}_y-a_y{b}_x=2\times 2-4\times 4=-12}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}=\left(8,8,-12\right)}$

となる．

よって，平行四辺形の面積 ${\displaystyle \text{S}=\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}$ は

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|=\left|\left(8,8,-12\right)\right|}$ ${\displaystyle =\sqrt{8^2+8^2+{\left(-12\right)}^2}=4\sqrt{17}}$

となり，求める三角形の面積は

${\displaystyle \frac{\text{S}}{2}=\frac{\left|\overrightarrow{\text{AB}}\times \overrightarrow{\text{AC}}\right|}{2}=2\sqrt{17}}$

となる．

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月17日