三角形の面積を求める問題

■問題

原点と空間上の２点 $\text{A}\left(4,3,1\right)$ ， $\text{B}\left(2,1,2\right)$ を頂点とする三角形の面積を求めよ．

■解説動画

◇ベクトルの動画一覧のページへ

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{65}}$

■ヒント

三角形の面積： ${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{{\left|\stackrel{⟶}{\text{AB}}\right|}^2·{\left|\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right|}^2-{\left(\stackrel{⟶}{\text{AB}}·\stackrel{⟶}{\text{AC}}\right)}^2}}$ を用いる．この公式を覚えていない場合は，三角形の面積 $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ×底辺の長さ×高さ，から計算をする．

外積の定義を参考にする．

■解説

●ベクトルの内積を用いた計算

三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積を $S$ とすると

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{{\left|\stackrel{⟶}{\text{OA}}\right|}^2·{\left|\stackrel{⟶}{\text{OB}}\right|}^2-{\left(\stackrel{⟶}{\text{OA}}·\stackrel{⟶}{\text{OB}}\right)}^2}}$

この式の内容は三角形の面積に詳しく書いてある

となる．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}=\left(4,3,1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OB}}=\left(2,1,2\right)}$

であることより

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\text{OA}}\right|}^2=4^2+3^2+1^2}$ ${\displaystyle =16+9+1}$ ${\displaystyle =26}$

${\displaystyle {\left|\overrightarrow{\text{OB}}\right|}^2=2^2+1^2+2^2}$ ${\displaystyle =4+1+4}$ ${\displaystyle =9}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}\cdot \overrightarrow{\text{OB}}=\left(4,3,1\right)\cdot \left(2,1,2\right)}$ ${\displaystyle =4\cdot 2+3\cdot 1+1\cdot 2}$ ${\displaystyle =8+3+2}$ ${\displaystyle =13}$

となる．よって

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{26\cdot 9-{13}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{13\left(18-13\right)}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{65}}$

◇三角形の面積 $={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ×底辺の長さ×高さからの計算

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\text{OA}}\right|\left|\overrightarrow{\text{BH}}\right|}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\text{OA}}\right|\left(\left|\overrightarrow{\text{OB}}\right|\sin \theta \right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\text{OA}}\right|\left|\overrightarrow{\text{OB}}\right|\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}$

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\overrightarrow{\text{OA}}\cdot \overrightarrow{\text{OB}}}{\left|\overrightarrow{\text{OA}}\right|\left|\overrightarrow{\text{OB}}\right|}}$ ${\displaystyle =\frac{13}{\sqrt{26}\cdot \text{3}}}$ ${\displaystyle =\frac{13}{\text{3}\sqrt{26}}}$

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{26}\cdot 3\left(\sqrt{1-{\left(\frac{13}{\text{3}\sqrt{26}}\right)}^2}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{{\left(\text{3}\sqrt{26}\right)}^2-{13}^2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{65}}$

★別解

${\displaystyle \overrightarrow{\text{BH}}=\overrightarrow{\text{OH}}-\overrightarrow{\text{OB}}}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OH}}=t\overrightarrow{\text{OA}}}$とおくと

${\displaystyle \overrightarrow{\text{BH}}=t\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OB}}}$

${\displaystyle \text{OA}\perp \text{BH}}$ より

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}\cdot \overrightarrow{\text{BH}}=0}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}\cdot \left(t\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OB}}\right)=0}$

${\displaystyle t\overrightarrow{\text{OA}}\cdot \overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OA}}\cdot \overrightarrow{\text{OB}}=0}$

${\displaystyle t{\left|\overrightarrow{\text{OA}}\right|}^2=\overrightarrow{\text{OA}}\cdot \overrightarrow{\text{OB}}}$

${\displaystyle t=\frac{\overrightarrow{\text{OA}}\cdot \overrightarrow{\text{OB}}}{{\left|\overrightarrow{\text{OA}}\right|}^2}}$${\displaystyle =\frac{13}{26}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

よって

${\displaystyle \overrightarrow{\text{BH}}=\frac{1}{2}\left(4,3,1\right)-\left(2,1,2\right)}$${\displaystyle =\left(0,\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)}$

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{BH}}\right|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{10}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{65}}$

以上より

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{26}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{10}}$

●ベクトルの外積を用いた計算

外積 ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}\times \overrightarrow{\text{OB}}}$ の大きさ ${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{OA}}\times \overrightarrow{\text{OB}}\right|}$ は， ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{\text{OB}}}$ を2辺とする平行四辺形の面積になる(外積の定義を参照)．よって，三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積 $S$ は

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\text{OA}}\times \overrightarrow{\text{OB}}\right|}$

となる．

${\displaystyle \overrightarrow{\text{OA}}\times \overrightarrow{\text{OB}}}$ ${\displaystyle =\left(4,3,1\right)\times \left(2,1,2\right)}$

${\displaystyle =\left(3\cdot 2-1\cdot 1,1\cdot 2-4\cdot 2,4\cdot 1-3\cdot 2\right)}$

${\displaystyle =\left(5,-6,-2\right)}$

よって

${\displaystyle S=\frac{1}{2}\sqrt{5^2+{\left(-6\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{25+36+4}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{65}}$

となる．

■3Dグラフ

　

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>ベクトルに関する問題>>三角形の面積を求める問題

最終更新日： 2025年10月20日 ->