ベクトルのなす角の計算

■問題

平面ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(3,1\right)}$ のなす角を求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle 45°}$

■ヒント

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ のなす角を ${\displaystyle \theta }$ としたとき 

${\displaystyle \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|cos\theta }$

内積の定義を利用する． 

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ のなす角を ${\displaystyle \theta }$ とすると  

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}}$ ${\displaystyle =\frac{1\times 3+2\times 1}{\sqrt{1^2+2^2}·\sqrt{3^2+1^2}}}$ ${\displaystyle =\frac{5}{\sqrt{50}}}$ ${\displaystyle =\frac{5}{5\sqrt{2}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}}$

${\displaystyle {\text{0}}^{\circ }\leqq \theta \le {180}^{\circ }}$ であるから

${\displaystyle \theta ={45}^{\circ }}$  

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年7月16日