ベクトルの計算問題

■問題

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(-2,3\right)}$ のとき， ${\displaystyle 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}$ を求めよ．また， ${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(-13,3\right)}$ を${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と${\displaystyle \overrightarrow{b}}$を用いて表せ．

■答

${\displaystyle 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(8,-1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{c}=-3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}$

■ヒント

ベクトルの定数倍，ベクトルの差，ベクトルの和を参照

■解説

${\displaystyle 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=2\left(3,1\right)-\left(-2,3\right)}$

${\displaystyle =\left(2\cdot 3,2\cdot 1\right)-\left(-2,3\right)}$ （ベクトルの定数倍を参照）

${\displaystyle =\left(6,2\right)-\left(-2,3\right)}$

${\displaystyle =\left(6-\left(-2\right),2-3\right)}$　（ベクトルの差を参照）

${\displaystyle =\left(8,-1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}}$ とおく．

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(-2,3\right)}$，${\displaystyle \overrightarrow{c}=\left(-13,3\right)}$より

${\displaystyle \left(-13,3\right)=x\left(3,1\right)+y\left(-2,3\right)}$

が得られる．この右辺を整理すると

${\displaystyle \left(-13,3\right)=\left(3x,x\right)+\left(-2y,3y\right)}$　（ベクトルの定数倍を参照）

${\displaystyle \left(-13,3\right)=\left(3x-2y,x+3y\right)}$　（ベクトルの和を参照）

となる．よって

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-13=3x-2y･･････\text{(1)}\\ 3=x+3y･･････\text{(2)}\end{array}\right.}$

となる連立方程式が得られる．

これを解く．(1)ー3×(2)より

${\displaystyle -22=-11y}$

${\displaystyle y=2}$

これを(2)に代入する.

${\displaystyle 3=x+3\cdot 2}$

${\displaystyle x=-3}$

以上より

${\displaystyle \overrightarrow{c}=-3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年10月3日