直交するベクトルを求める問題

■問題

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(1,2\right)}$ とするとき， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}}$ が直交するような ${\displaystyle t}$ を求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle t=-\frac{1}{2}}$

■ヒント

直交することより，内積が ${\displaystyle 0}$ である．すなわち

${\displaystyle \overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\right)=0}$  

となるような ${\displaystyle t}$ を求める．　 

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}=\left(1,2\right)+t\left(3,1\right)=\left(1+3t,2+t\right)}$  

よって 

${\displaystyle \overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\right)}$ ${\displaystyle =\left(3,1\right)·\left(1+3t,2+t\right)}$

${\displaystyle =3\times \left(1+3t\right)+1\times \left(2+t\right)}$

${\displaystyle =5+10t}$

となる．したがって

${\displaystyle 5+10t=0}$

${\displaystyle t=-\frac{1}{2}}$

図の緑色のベクトルが ${\displaystyle \overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}}$ である．

　

■インターラクティブなグラフ

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年7月16日