直線の方程式の問題

■問題

2つの平面 ${\displaystyle x+y+z=6}$ ， ${\displaystyle x-y+5z=4}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．

解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{2}=z}$

■ヒント

例えば， $z=t$ とおいて，2つの平面の方程式を連立方程させて， $x$ と $y$ をそれぞれ $t$ の関数として表す．この結果を用いる．

■解説

交線上の点 ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ は両方の平面上の点であるから  

${\displaystyle x+y+z=6}$ ･･････(1)

${\displaystyle x-y+5z=4}$ ･･････(2)

を同時にみたしている．よって，(1)と(2)を連立させることにより，直線の方程式を求める．

(1)+(2)より

${\displaystyle 2x+6z=10}$ ， ${\displaystyle 2x=10-6z}$ ， ${\displaystyle x=-3z+5}$  ･･････(3)

(1)-(2)より

${\displaystyle 2y-4z=2}$ ， ${\displaystyle 2y=4z+2}$ ， ${\displaystyle y=2z+1}$  ･･････(4)

となる．ここで ${\displaystyle z=t}$ とおくことで 

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left(-3t+5,2t+1,t\right)}$ ${\displaystyle =\left(5,1,0\right)+t\left(-3,2,1\right)}$  ･･････(5)  

となる媒介変数を用いた直線の方程式が得られる．(5)より

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=-3t+5\\ y=2t+1\\ z=t\end{array}\right.}$

となり

${\displaystyle t=\frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{2}=z}$

となる．よって求める直線の方程式は 

${\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{2}=z}$  ･･････(6)

となる．

備考：この直線は，点 $\left(5,1,0\right)$を通り，方向ベクトルが $\left(-3,2,1\right)$の直線である．

●別解

$x=t$  ･･････(7)

とおくと，(1)，(2)より

$t+y+z=6$  ･･････(8)

$t-y+5z=4$  ･･････(9)

が得られる．(8)+(9)より

$2t+6z=10$

${\displaystyle t=-3z+5=\frac{z-\frac{5}{3}}{-\frac{1}{3}}}$  ･･････(10)

(8)×5-(9)より

$4t+6y=26$

${\displaystyle t=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}=\frac{y-\frac{13}{3}}{-\frac{2}{3}}}$  ･･････(11)

となる．

(7)，(10)，(11)より

${\displaystyle x=\frac{y-\frac{13}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{z-\frac{5}{3}}{-\frac{1}{3}}}$  ･･････(12)

となる直線の方程式が得られる．この直線の方程式は．点${\displaystyle \left(0,\frac{13}{3},\frac{5}{3}\right)}$ を通り，方向ベクトルが${\displaystyle \left(1,-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)}$ の直線を表す．

(6)と(12)は，異なっているが，同値である．

そのことを確かめる．

(12)の各辺に${\displaystyle -\frac{1}{3}}$ を掛ける．

${\displaystyle -\frac{1}{3}x=-\frac{1}{3}\cdot \frac{y-\frac{13}{3}}{-\frac{2}{3}}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{z-\frac{5}{3}}{-\frac{1}{3}}}$

${\displaystyle \frac{x}{-3}=\frac{y-\frac{13}{3}}{2}=z-\frac{5}{3}}$

さらに，各辺に${\displaystyle \frac{5}{3}}$ を加える．

${\displaystyle \frac{x}{-3}+\frac{5}{3}=\frac{y-\frac{13}{3}}{2}+\frac{5}{3}=z}$

${\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{2}=z}$

となり，(12)を式変形すると(6)と一致する．

このように直線の方程式の書き方は一通りではない．

■3Dグラフ

青色の平面： ${\displaystyle x+y+z=6}$

赤色の平面： ${\displaystyle x-y+5z=4}$

黒色の直線(2つの平面の交線： ${\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{2}=z}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年12月16日