必要十分条件

命題「${\displaystyle A\Rightarrow B}$ 」が真であるとき

${\displaystyle A}$ を${\displaystyle B}$であるための十分条件

${\displaystyle B}$ を${\displaystyle A}$であるための必要条件

という．

命題「${\displaystyle A\Rightarrow B}$ 」，「${\displaystyle B\Rightarrow A}$ 」が共に真であるとき，${\displaystyle A}$が意味することと，${\displaystyle B}$が意味することは同じになり，${\displaystyle A}$と${\displaystyle B}$は同値であるという．

また，${\displaystyle B}$を${\displaystyle A}$であるための必要条件という．${\displaystyle A}$と${\displaystyle B}$は同値であるので，${\displaystyle A}$は${\displaystyle B}$であるための必要条件でもある．

例えば，「ある数が${\displaystyle 4}$ で割り切れる」ための必要十分条件は「ある数が${\displaystyle 4}$ の倍数である」ことである．

${\displaystyle A}$ が${\displaystyle B}$であるための必要十分条件であることを示すには，「${\displaystyle A\Rightarrow B}$ 」と「${\displaystyle B\Rightarrow A}$ 」が共に真であることを証明すればよい．

命題「${\displaystyle A\Rightarrow B}$ 」が真であるとき，その逆の命題「${\displaystyle B\Rightarrow A}$ 」が真であるとは限らない．

例えば，「${\displaystyle 4}$の倍数ならば偶数である」という命題は正しく真であるが，その逆の命題である「偶数ならば${\displaystyle 4}$の倍数である」は偶数である${\displaystyle 6}$は${\displaystyle 4}$の倍数ではなく，正しくないので偽である．

 

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最終更新日 2023年10月5日