命題

「 ${\displaystyle 4}$ の倍数ならば偶数である」というような，その内容が正しいか，正しくないか判断できる文章あるいは数式を命題という．

「 ${\displaystyle 4}$ の倍数」という条件を ${\displaystyle p}$ で表し，「偶数」という条件を ${\displaystyle q}$ で表すと，「 ${\displaystyle 4}$ の倍数ならば偶数である」という命題は「 ${\displaystyle p}$ ならば ${\displaystyle q}$ である」というように，一般化した表現になる．これを記号を使って表すと

${\displaystyle p\Rightarrow q}$

となる．

$p$ を仮定， $q$ を結論という．

命題「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」が正しいとき，命題は真であるといい，命題「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」が正しくないとき，命題は偽であるという．

■集合を用いた命題の説明

命題が取り扱う要素の全体集合を $U$ ， 条件 $p$ を満たす要素すべてを含む集合を $P$ ，条件 $q$ を満たす要素すべてを含む集合を $Q$ とする． $P$ ， $Q$ は $U$ の部分集合になる．

●命題 「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」が真のとき

${\displaystyle P\subset Q}$ が成り立つ（部分集合を参照）．逆に， ${\displaystyle P\subset Q}$ が成り立てば，命題 「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」

は真である．

●命題 「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」が偽のとき

${\displaystyle P\subset Q}$ が成り立たたない．すなわち，$P$の要素のなかで，$Q$に属さないものが一つでもあれば，命題 「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」は偽になる．

 

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最終更新日 2025年12月26日