直線の方程式に関する問題

■問題

空間座標上の点${\displaystyle \text{A}\left(1,2,1\right)}$ を通り，ベクトル${\displaystyle \left(2,1,1\right)}$ に平行な直線の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{x-1}{2}=y-2=z-1}$

■ヒント

点${\displaystyle \text{P}\left(x_0,y_0,z_0\right)}$ を通り，方向ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{d}=\left(l,m,n\right)}$ に平行な直線の方程式

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}}$

を用いる．

■解説

点Pの座標は ${\displaystyle \left(x_0,y_0,z_0\right)=\left(1,2,1\right)}$ ，方向ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{d}=(l,m,n)=(2,1,1)}$ より ，これらの値を直線の方程式

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}}$

に代入すると

${\displaystyle \frac{x-1}{2}=y-2=z-1}$ 

となる．これが，求める直線の方程式である．

●補足●

媒介変数 ${\displaystyle t}$ を用いた直線の方程式は

${\displaystyle x=x_0+tl}$ ， ${\displaystyle y=y_0+tm}$ ， ${\displaystyle z=z_0+tn}$　　　　 （媒介変数 ${\displaystyle t}$ を用いた直線の方程式)

と表わされる．すなわち，この問題の場合

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left(1,2,1\right)+t\left(2,1,1\right)}$

となり 

${\displaystyle \begin{array}{l}x=2t+1\\ y=t+2\\ z=t+1\end{array}}$

となる．さらに

${\displaystyle \begin{array}{l}t=z-1\\ t=y-2\\ t={\displaystyle \frac{x-1}{2}}\end{array}}$

と式を変形し，${\displaystyle t}$ 消去すると，直線方程式

${\displaystyle \frac{x-1}{2}=y-2=z-1}$

が得られる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月14日