平面の方程式の問題

■問題

平面 ${\displaystyle 2x-2y+z=5}$ に垂直な大きさ1のベクトルを求めよ．

■解説動画

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■答

${\displaystyle \pm \frac{1}{3}\left(2,-2,1\right)=\pm \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)}$

■ヒント

平面の方程式の係数より，平面に垂直なベクトルを求める．(平面の方程式を参照)

■解説

ベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\left(2,-2,1\right)}$ は 平面 ${\displaystyle 2x-2y+z=5}$ の法線 ベクトルである．

法線ベクトルの大きさは

${\displaystyle \left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}=3}$

となる．

${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ と逆向きのベクトルも平面に垂直になるので，求めるベクトルは

${\displaystyle \pm \frac{1}{3}\left(2,-2,1\right)=\pm \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)}$

となる．

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年4月18日