三角関数の方程式に関する問題(問1-10)

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$とする．

${\displaystyle cos\theta =\frac{1}{2}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi }$，${\displaystyle \frac{5}{3}\pi }$

■解説

${\displaystyle \cos \theta }$ の値は単位円上の点の ${\displaystyle x}$ 座標の値に相当する( ここ を参照)．

まず，図のように 単位円 を描く． このとき，原点を${\displaystyle \text{O}}$とする．

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{2}}$ より，${\displaystyle x}$軸と平行な直線である${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$を描く．

描いた線と単位円との交点を${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点${\displaystyle \text{O}}$と直線で結ぶ．

${\displaystyle \text{P}}$，${\displaystyle \text{Q}}$から${\displaystyle y}$軸に垂線を下ろし，それぞれの足を ${\displaystyle \text{R}}$ ，${\displaystyle \text{S}}$ とし，直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$，直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$の内角を求める．

${\displaystyle \text{OP}=1}$ ，${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{2}}$より， 基本的な三角形と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR=}\frac{1}{6}\pi }$

となる．

直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ${\displaystyle \equiv }$ 直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$

より

${\displaystyle \angle \text{QOS}=\angle \text{POR}=\frac{1}{6}\pi }$

よって，${\displaystyle {\theta }_1}$，${\displaystyle {\theta }_2}$を算出すと

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{2}\pi -\frac{1}{6}\pi =\frac{1}{3}\pi }$，${\displaystyle {\theta }_2=\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{6}\pi =\frac{5}{3}\pi }$  

となる．

　

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最終更新日： 2023年4月12日