三角関数の方程式に関する問題(問1-10)

■問 題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle cos\theta =\frac{1}{2}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{3}\pi }$ ， ${\displaystyle \frac{5}{3}\pi }$

■ヒント

$\cos \theta =c$ の解き方

■解説

${\displaystyle \cos \theta }$ の値は単位円上の点の ${\displaystyle x}$ 座標の値に相当する( ここ を参照)．

まず，図のように 単位円 を描く． このとき，原点を ${\displaystyle \text{O}}$ とする．

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{2}}$ より， ${\displaystyle x}$ 軸と平行な直線である ${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$ を描く．

描いた線と単位円との交点を ${\displaystyle \text{P}}$ ， ${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点 ${\displaystyle \text{O}}$ と直線で結ぶ．

${\displaystyle \text{P}}$ ， ${\displaystyle \text{Q}}$ から ${\displaystyle y}$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を ${\displaystyle \text{R}}$ ， ${\displaystyle \text{S}}$ とし，直角三角形 ${\displaystyle \text{OPR}}$ ，直角三角形 ${\displaystyle \text{OQS}}$ の内角を求める．

${\displaystyle \text{OP}=1}$ ， ${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{2}}$ より， 基本的な三角形と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR=}\frac{1}{6}\pi }$

となる．

直角三角形 ${\displaystyle \text{OPR}}$ ${\displaystyle \equiv }$ 直角三角形 ${\displaystyle \text{OQS}}$

より

${\displaystyle \angle \text{QOS}=\angle \text{POR}=\frac{1}{6}\pi }$

よって， ${\displaystyle {\theta }_1}$ ， ${\displaystyle {\theta }_2}$ を算出すと

${\displaystyle {\theta }_1=\frac{1}{2}\pi -\frac{1}{6}\pi =\frac{1}{3}\pi }$ ， ${\displaystyle {\theta }_2=\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{6}\pi =\frac{5}{3}\pi }$  

となる．

　

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最終更新日： 2025年2月12日