三角形の頂点の二等分線の性質

頂点Aの角の二等分線をℓ とし，BCとの交点をPとすると

PB：PC＝AB：AC

である．

■証明

頂点B，頂点Cから二等分線ℓに垂線を下ろし，それぞれの垂線の足をQ，Rとする．

△ABQと△ACRについて考える．

∠BAQ＝∠ＣＡＲ　（∵ＡＰは∠の二等分線）

∠ＡＱＢ＝∠ＡＲＣ＝９０°　（∵Ｑ，Ｒは垂線の足であるから）

より，２角が等しいので，

△ABQ∽△ACR

よって，

ＡＢ：ＡＣ＝ＢＱ：ＣＲ　・・・・・・(1)

次に，△ＰＱＢと△ＰＲＣを考える．

∠ＱＰＢ＝∠ＲＰＣ　（∵対角）

∠ＰＱＢ＝∠ＰＲＣ＝９０°　（∵Ｑ，Ｒは垂線の足であるか）

より，２角が等しいので，

△ＰＱＢ∽△ＰＲＣ

よって，

ＢＱ：ＣＲ＝ＰＢ：ＰＣ　・・・・・・(2)

(1)，(2)より

PB：PC＝AB：AC

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最終更新日 ： 2016年3月2日