三角形の頂点の二等分線の性質

頂点$\text{A}$の角の二等分線をℓ とし，$\text{BC}$との交点を$\text{P}$（内分点）とすると

${\displaystyle \text{PB}:\text{PC}=\text{AB}:\text{AC}}$

である．

■証明

頂点$\text{B}$ ，頂点Cから二等分線ℓに垂線を下ろし，それぞれの垂線の足を$\text{Q}$ ，$\text{R}$ とする．

△$\text{ABQ}$ と△$\text{ACR}$ について考える．

${\displaystyle \angle \text{ABQ}=\angle \text{CAR}}$ 　（∵$\text{AP}$ は∠の二等分線）

${\displaystyle \angle \text{AQB}=\angle \text{ARC}=90°}$ 　（∵$\text{Q}$，$\text{R}$は垂線の足であるから）

より，２角が等しいので

△$\text{ABQ}$∽△$\text{ACR}$

よって

${\displaystyle \text{AB}:\text{AC}=\text{BQ}:\text{CR}}$ 　･･････(1)

次に，△$\text{PQB}$と△$\text{PRC}$を考える．

${\displaystyle \angle \text{QPB}=\angle \text{RPC}}$ 　（∵対角）

${\displaystyle \angle \text{PQB}=\angle \text{PRC}=90°}$ 　（∵$\text{Q}$，$\text{R}$は垂線の足であるか）

より，２角が等しいので

△$\text{PQB}$∽△$\text{PRC}$

よって

${\displaystyle \text{AB}:\text{AC}=\text{PB}:\text{PC}}$ 　･･････(2)

(1)，(2)より

${\displaystyle \text{PB}:\text{PC}=\text{AB}:\text{AC}}$

 

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最終更新日 ： 2023年10月2日