相似条件

■相似な立体の表面積比

相似な立体で，対応する部分の長さが${\displaystyle k}$ 倍なら，表面積は${\displaystyle k^2}$倍である．

証明

一例として，円柱の場合について証明する．

下図において，円柱 ${\displaystyle \text{Q}}$ ， ${\text{Q}}^{\prime }$ は相似である．

${\displaystyle \text{Q}}$ と ${\text{Q}}^{\prime }$の相似比が ${\displaystyle 1:k}$のとき， ${\displaystyle \text{Q}}$ の表面積を ${\displaystyle S}$， ${\text{Q}}^{\prime }$ の表面積を ${\text{S}}^{\prime }$ とおく．

　　　　　 　　　

${\displaystyle S=2\pi rh}$･･････(1)

${\displaystyle {\text{S}}^{\prime }=2\pi kr\cdot kh}$ ${\displaystyle =k^2\cdot 2\pi rh}$･･････(2)  

(1)，(2)より

${\displaystyle S:{\text{S}}^{\prime }=1:k^2}$

が成り立つ．

 

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最終更新日2023年10月3日