小数の基数表現

■小数の基数表現

基数での表現は整数のみではなく，小数でもできる．

整数と同じく重みという言葉を用い定義する．→基数

$n$ 進数の基数は $n$ であり，小数点第 $k$ 桁の重みは $n^{- k}$ となる．

例えば，小数第3位までの $n$ 進小数は

$0. i j k$ $= i \times n^{- 1} + j \times n^{- 2} + k \times n^{- 3}$

( $i, j, k$ は， $n$ 進数で使われる $0 \sim n - 1$ までの数)

を意味する．

10進小数0.123では

$0.123 = 1 \times 10^{- 1} + 2 \times 10^{- 2} + 3 \times 10^{- 3}$

$= 1 \times 0 .1 + 2 \times 0 .01 + 3 \times 0 .01$

である．

■2進小数

上記の定義より2進小数0.1101は

${(0.1101)}_{2} = 1 \times 2^{- 1} + 1 \times 2^{- 2}$ $+ 0 \times 2^{- 3}$ $+ 1 \times 2^{- 4}$

$= 0.5 + 0.25 + 0.0625$

なお，10進数との対応を下の表に示す．

10進数	0.5	0.25	0.125	0.0625	0.03125
2進数	0.1	0.01	0.001	0.0001	0.00001

■2進小数→10進小数

変換する2進小数の各桁に重みを掛け求める．

【例】

${(0.1011)}_{2}$ $= 1 \times 2^{- 1} + 0 \times 2^{- 2} + 1 \times 2^{- 3} + 1 \times 2^{- 4}$

$= 0.5 + 0.125 + 0.0625$

$= {(0.6875)}_{10}$

■10進小数→2進小数

ある10進小数 $0. a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}$ を考える． $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ は1～9の自然数である．

この10進小数を2進少数に変換すると

${(0. a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n})}_{10} = {(0. b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{n})}_{2}$ 　･･････(1)

となったとする． $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}$ は0か1である．

(i)

(1)の両辺を基数表現に直すと

$a_{1} \times 10^{- 1} + a_{2} \times 10^{- 2} + a_{3} \times 10^{- 3} + \dots + a_{n} \times 10^{- n}$

$= b_{1} \times 2^{- 1} + b_{2} \times 2^{- 2} + b_{3} \times 2^{- 3} + \dots + b_{n} \times 2^{- n}$ 　･･････(2)

(2)の両辺を2倍する.

$a_{1} \times 10^{- 1} + 2 a_{2} \times 10^{- 2} + 2 a_{3} \times 10^{- 3} + \dots + 2 a_{n} \times 10^{- n}$

$= b_{1} + b_{2} \times 2^{- 1} + b_{3} \times 2^{- 2} + \dots + b_{n} \times 2^{- 2}$ 　･･････(3)

(3)の左辺は

$0 < 2 a_{1} \times 10^{- 1} + 2 a_{2} \times 10^{- 2} + 2 a_{3} \times 10^{- 3} + \dots + 2 a_{n} \times 10^{- n} < 2$

となる．よって，(3)の左辺の10進数の整数部は1か0である．ここで，左辺の値が1より大きいなら(ii)，1より小さいなら(iii)の操作を行う．

なお(ii)と(iii)の操作後，右辺の小数点以下が0(言い換えると1)となれば(iv)へ.

(ii)

(3)の右辺は ${(b_{1} . b_{2} b_{3} \dots b_{n})}_{2}$ となる．

${(b_{1} . b_{2} b_{3} \dots b_{n})}_{2} > 1$

より

$b_{1} = 1$

が得られる．

(3)の両辺から1を引いた後、左辺を10進小数に，右辺を2進小数に戻して改めて(1)とし，(i)に戻る．この時，2進小数は ${(0. b_{2} b_{3} \dots b_{n})}_{2}$ である．

(iii)

(3)の右辺は ${(b_{1} . b_{2} b_{3} \dots b_{n})}_{2}$ となる．

$0 < {(b_{1} . b_{2} b_{3} \dots b_{n})}_{2} < 1$

より

$b_{1} = 0$

が得られる．

(3)の左辺を10進小数に，右辺を2進小数に戻して改めて(1)とし，(i)に戻る．この時，2進小数は ${(0. b_{2} b_{3} \dots b_{n})}_{2}$ である．

(iv)

$b_{1} \sim b_{n}$ を小数点以下順番に並べると10進小数を2進小数で表せる．

以下に，計算例を示す．

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最終更新日：2023年10月6日