関数の極限の求め方

${\displaystyle \infty -\infty }$ ，${\displaystyle \frac{0}{0}}$ ，${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ は極限が求められる形に式を変形する．

■変形方法

● 因数分解→約分

例)

${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2+x-2}{x^2+2x-3}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 1}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 1}{lim}\frac{x+2}{x+3}}$

${\displaystyle =\frac{3}{4}}$

● ${\displaystyle \underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{x^n}}$を作り出す

・最高次数でくくりだし

例)

${\displaystyle \underset{x\to \text{∞}}{lim}\left(3x^3-2x^2-5\right)}$

${\displaystyle =\underset{x\to \text{∞}}{lim}{x}^3\left(3-\frac{2}{x}-\frac{5}{x^3}\right)}$

${\displaystyle =\text{∞}\times \left(3-2\times 0-5\times 0\right)}$

${\displaystyle =\text{∞}\times 3}$

${\displaystyle =\text{∞}}$

・${\displaystyle x^n}$  で割る 

例)

${\displaystyle \underset{x\to \text{∞}}{lim}\frac{x^2+3x+4}{2x^2+1}}$

${\displaystyle =\underset{x\to \text{∞}}{lim}\frac{1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{2+\frac{1}{x^2}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

 

● 有理化

例)

${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 2}{lim}\frac{\left(\sqrt{x+2}-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 2}{lim}\frac{x+2-2^2}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 2}{lim}\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}}$

 

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最終更新日 2026年5月9日