関数の極限値の性質の証明(定数倍の極限)

lim xa f( x ) が存在し, c が定数のとき,次式が成り立つ.

lim xa cf( x )=c lim xa f( x )

■証明

lim xa f( x ) が存在することより

lim xa f x =α

とする.言い換えると以下のようになる.

任意の正数 ε に対して,適当な正の数 δ があって

0< xa <δ のすべてのx について f x α <ε となる

上記前提の下で

cf x cα = c f x α < c ε  ・・・・・・(1)

となる.

c ε= ε とおくと,(1)は

cf x cα < ε

となる.c は定数, ε は任意の正数より, ε も任意の正数とみなすことができる.

整理すると

任意の正数 ε に対して,適当な正の数 δ があって

0< xa <δ のすべてのx について cf x cα < ε となる

すなわち

lim xa cf x =cα=c lim xa f x

が成り立つ.

 

ホーム>>カテゴリー別分類>>その他>>関数の極限値の性質>>関数の極限値の性質の証明(定数倍の極限)

最終更新日 2023年12月20日