関数の極限値の性質の証明（定数倍の極限）

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$ が存在し，${\displaystyle c}$ が定数のとき，次式が成り立つ．

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}cf\left(x\right)=c\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$

■証明

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$ が存在することより

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\alpha }$

とする．言い換えると以下のようになる．

任意の正数$\epsilon$ に対して，適当な正の数$\delta$ があって

$0<\left|x-a\right|<\delta$のすべての$x$ について${\displaystyle \left|f\left(x\right)-\alpha \right|<\epsilon }$となる

上記前提の下で

${\displaystyle \left|cf\left(x\right)-c\alpha \right|}$${\displaystyle =\left|c\right|\left|f\left(x\right)-\alpha \right|}$${\displaystyle <\left|c\right|\epsilon }$　･･････(1)

となる．

${\displaystyle \left|c\right|\epsilon ={\epsilon }^{\prime }}$ とおくと，(1)は

${\displaystyle \left|cf\left(x\right)-c\alpha \right|<{\epsilon }^{\prime }}$

となる．$c$ は定数，$\epsilon$は任意の正数より，${\epsilon }^{\prime }$も任意の正数とみなすことができる．

整理すると

任意の正数${\displaystyle {\epsilon }^{\prime }}$ に対して，適当な正の数$\delta$ があって

$0<\left|x-a\right|<\delta$のすべての$x$ について${\displaystyle \left|cf\left(x\right)-c\alpha \right|<{\epsilon }^{\prime }}$ となる

すなわち

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }cf\left(x\right)=c\alpha =c\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)}$

が成り立つ．

 

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最終更新日 2023年12月20日