関数の極限値の性質

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$ ，${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$ が存在するとき，次式が成り立つ．

1. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)\right\}}$${\displaystyle =\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$${\displaystyle +\underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$　⇒ 証明
2. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}cf\left(x\right)}$${\displaystyle =c\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$      (${\displaystyle c}$ ：定数)　⇒ 証明
3. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)\cdot \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$ 　⇒ 証明
4. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}{\underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}}$       (${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)\ne 0}$ ) 　⇒ 証明

上記の性質を証明するには，ε-δ論法による極限の定義を使うことになるので，ε-δ論法による極限の定義を以下に述べる

■定義

$a$の近くで定義された関数$f\left(x\right)$において，任意の正数$\epsilon$ に対して，適当な正の数$\delta$ があって， $0<\left|x-a\right|<\delta$のすべての$x$ について${\displaystyle \left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon }$ となるならば，これを $x\to a$のとき$f\left(x\right)\to b$あるいは${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=b}$ とかき，$b$を$x\to a$のときの極限値という 引用元：田島一郎，イプシロン・デルタ．共立出版，1978年，p2

●定義の解説

$0<\left|x-a\right|<\delta$より，$x$は$a$に限りなく近づいた値も含まれることになる．このときでも${\displaystyle \left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon }$が成り立たなければならない．また，$\epsilon$は任意の正数なので，$\epsilon$は$0$に限りなく近い場合も含まれる．この場合，$f\left(x\right)$は限りなく$b$に近づくことになる．

よって

$0<\left|x-a\right|<\delta$のすべての$x$ について${\displaystyle \left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon }$となる

という表現と

$x\to a$のとき$f\left(x\right)\to b$あるいは${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=b}$

は，同じことである．

 

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最終更新日 2023年12月19日