関数の極限値の性質

• ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$ が存在するとき，次式が成り立つ．

  1. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)\right\}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$ ${\displaystyle +\underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$ ⇒ 証明
  2. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}cf\left(x\right)}$ ${\displaystyle =c\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$       ( ${\displaystyle c}$ ：定数)　⇒ 証明
  3. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\left\{f\left(x\right)g\left(x\right)\right\}}$ ${\displaystyle =\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)\cdot \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$ ⇒ 証明
  4. ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}{\underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}}$       ( ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)\ne 0}$ ) 　⇒ 証明

• ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=b}$ で，かつ， ${\displaystyle f}$ が ${\displaystyle b}$ で連続ならば

  ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)\right)}$

  が成り立つ．⇒ 証明

上記の性質を証明するには，ε-δ論法による極限の定義を使うことになるので，ε-δ論法による極限の定義を以下に述べる

■定義

$a$ の近くで定義された関数 $f\left(x\right)$ において，任意の正数 $\epsilon$ に対して，適当な正の数 $\delta$ があって， $0<\left|x-a\right|<\delta$ のすべての $x$ について ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon }$ となるならば，これを $x\to a$ のとき $f\left(x\right)\to b$ あるいは ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=b}$ とかき， $b$ を $x\to a$ のときの極限値という 引用元：田島一郎，イプシロン・デルタ．共立出版，1978年，p2

●定義の解説

$0<\left|x-a\right|<\delta$ より， $x$ は $a$ に限りなく近づいた値も含まれることになる．このときでも ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon }$ が成り立たなければならない．また， $\epsilon$ は任意の正数なので， $\epsilon$ は $0$ に限りなく近い場合も含まれる．この場合， $f\left(x\right)$ は限りなく $b$ に近づくことになる．

よって

$0<\left|x-a\right|<\delta$ のすべての $x$ について ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon }$ となる

という表現と

$x\to a$ のとき $f\left(x\right)\to b$ あるいは ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=b}$

は，同じことである．

 

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最終更新日 2026年6月8日