関数の極限値の性質の証明（商の極限）

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$ ，${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$ が存在するとき，次式が成り立つ．

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}{\underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}}$　　(${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)\ne 0}$ )

■証明

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)}$，${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g\left(x\right)}$ が存在することより

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\alpha }$，${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=\beta }$

とする．言い換えると以下のようになる．

任意の正数$\epsilon$ に対して，適当な正の数$\delta$ があって

$0<\left|x-a\right|<\delta$のすべての$x$ について${\displaystyle \left|f\left(x\right)-\alpha \right|<\epsilon }$，${\displaystyle \left|g\left(x\right)-\beta \right|<\epsilon }$となる

ところで

$0<\left|x-a\right|<\delta$のすべての$x$ について${\displaystyle \left|g\left(x\right)-\beta \right|<\epsilon }$となる

ことより

${\displaystyle 0<\left|x-a\right|<{\delta }^{\prime }}$ のすべての$x$ について${\displaystyle \left|g\left(x\right)-\beta \right|<\frac{\left|\beta \right|}{2}}$ となる正の数${\displaystyle {\delta }^{\prime }}$ が存在する．

今回は，適当な正の数$\delta$を選ぶとき，${\displaystyle {\delta }^{\prime }}$を選ぶことにする．

この場合

${\displaystyle \left|g\left(x\right)\right|=\left|g\left(x\right)-\beta +\beta \right|}$${\displaystyle =\left|\beta +\left(g\left(x\right)-\beta \right)\right|}$${\displaystyle \geqq \left|\beta \right|-\left|g\left(x\right)-\beta \right|}$${\displaystyle >\left|\beta \right|-\frac{\left|\beta \right|}{2}}$${\displaystyle =\frac{\left|\beta \right|}{2}}$　･･････(1)

となる．

上記前提の下で

${\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{\alpha }{\beta }\right|=\left|\frac{\beta f\left(x\right)-\alpha g\left(x\right)}{\beta g\left(x\right)}\right|}$

${\displaystyle =\frac{\left|\beta f\left(x\right)-\alpha \beta +\alpha \beta -\alpha g\left(x\right)\right|}{\left|\beta g\left(x\right)\right|}}$

${\displaystyle =\frac{\left|\beta \left(f\left(x\right)-\alpha \right)-\alpha \left(g\left(x\right)-\beta \right)\right|}{\left|\beta g\left(x\right)\right|}}$

三角不等式の関係より

${\displaystyle \leqq \frac{\left|\beta \left(f\left(x\right)-\alpha \right)\right|+\left|\alpha \left(g\left(x\right)-\beta \right)\right|}{\left|\beta g\left(x\right)\right|}}$

${\displaystyle =\frac{\left|\beta \right|\left|f\left(x\right)-\alpha \right|+\left|\alpha \right|\left|g\left(x\right)-\beta \right|}{\left|\beta \right|\left|g\left(x\right)\right|}}$

(1)の関係を用いると

${\displaystyle <\frac{\left|\beta \right|\epsilon +\left|\alpha \right|\epsilon }{\left|\beta \right|\frac{\left|\beta \right|}{2}}}$

${\displaystyle =\frac{2\left(\left|\beta \right|+\left|\alpha \right|\right)}{{\left|\beta \right|}^2}\epsilon }$　･･････(2)

となる．

${\displaystyle \frac{2\left(\left|\beta \right|+\left|\alpha \right|\right)}{{\left|\beta \right|}^2}\epsilon ={\epsilon }^{\prime }}$ とおくと，(2)は

${\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{\alpha }{\beta }\right|<{\epsilon }^{\prime }}$

となる．$\alpha$ ，$\beta$は有限な値， $\epsilon$は任意の正数より，${\epsilon }^{\prime }$も任意の正数とみなすことができる．

整理すると

任意の正数${\displaystyle {\epsilon }^{\prime }}$ に対して，正の数${\delta }^{\prime }$ があって

$0<\left|x-a\right|<{\delta }^{\prime }$のすべての$x$ について${\displaystyle \left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{\alpha }{\beta }\right|<{\epsilon }^{\prime }}$ となる

すなわち

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)}}$

が成り立つ．

 

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最終更新日 2026年5月21日