関数の極限値の性質の証明

lim xa f( x ) lim xa g( x ) が存在するとき,次式が成り立つ.

lim xa f( x ) g( x ) = lim xa f( x ) lim xa g( x )   ( lim xa g( x )0 )

■証明

lim xa f( x ) lim xa g( x ) が存在することより

lim xa f x =α lim xa g x =β

とする.言い換えると以下のようになる.

任意の正数 ε に対して,適当な正の数 δ があって

0< xa <δ のすべてのx について f x α <ε g x β <ε となる

ところで

0< xa <δ のすべてのx について g x β <ε となる

ことより

0< xa < δ のすべてのx について g x β < β 2 となる正の数 δ が存在する.

今回は,適当な正の数 δ を選ぶとき, δ を選ぶことにする.

この場合

g x = g x β+β = β+ g x β β g x β > β β 2 = β 2  ・・・・・・(1)

となる.

上記前提の下で

f x g x α β = βf x αg x βg x

= βf x αβ+αβαg x βg x

= β f x α α g x β βg x

三角不等式の関係より

β f x α + α g x β βg x

= β f x α + α g x β β g x

(1)の関係を用いると

< β ε+ α ε β β 2

= 2 β + α β 2 ε  ・・・・・・(2)

となる.

2 β + α β 2 ε= ε とおくと,(2)は

f x g x α β < ε

となる. α β は有限な値, ε は任意の正数より, ε も任意の正数とみなすことができる.

整理すると

任意の正数 ε に対して,正の数 δ があって

0< xa < δ のすべてのx について f x g x α β < ε となる

すなわち

lim xa f x g x = α β = lim xa f x lim xa g x

が成り立つ.

 

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最終更新日 2023年12月20日