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応用分野: 関数の極限値の性質

関数の極限値の性質の証明

limxaf(x)limxag(x) が存在するとき,次式が成り立つ.

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)limxag(x)  (limxag(x)0 )

■証明

limxaf(x)limxag(x) が存在することより

limxafx=αlimxagx=β

とする.言い換えると以下のようになる.

任意の正数ε に対して,適当な正の数δ があって

0<xa<δのすべてのx についてfxα<εgxβ<εとなる

ところで

0<xa<δのすべてのx についてgxβ<εとなる

ことより

0<xa<δ のすべてのx についてgxβ<β2 となる正の数δ が存在する.

今回は,適当な正の数δを選ぶとき,δを選ぶことにする.

この場合

gx=gxβ+β=β+gxββgxβ>ββ2=β2 ・・・・・・(1)

となる.

上記前提の下で

fxgxαβ=βfxαgxβgx

=βfxαβ+αβαgxβgx

=βfxααgxββgx

三角不等式の関係より

βfxα+αgxββgx

=βfxα+αgxββgx

(1)の関係を用いると

<βε+αεββ2

=2β+αβ2ε ・・・・・・(2)

となる.

2β+αβ2ε=ε とおくと,(2)は

fxgxαβ<ε

となる.αβは有限な値, εは任意の正数より,εも任意の正数とみなすことができる.

整理すると

任意の正数ε に対して,正の数δ があって

0<xa<δのすべてのx についてfxgxαβ<ε となる

すなわち

limxafxgx=αβ=limxafxlimxagx

が成り立つ.

 

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最終更新日 2023年12月20日

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