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関数の極限値の性質

lim xa f( x ) lim xa g( x ) が存在するとき,次式が成り立つ.

  1. lim x a { f ( x ) + g ( x ) } = lim x a f ( x ) + lim x a g ( x )   証明
  2. lim x a c f ( x ) = c lim x a f ( x )       ( c :定数)  証明
  3. lim x a { f ( x ) g ( x ) } = lim x a f ( x ) lim x a g ( x )   証明
  4. lim xa f( x ) g( x ) = lim xa f( x ) lim xa g( x )       ( lim xa g( x )0 )   証明

上記の性質を証明するには,ε-δ論法による極限の定義を使うことになるので,ε-δ論法による極限の定義を以下に述べる

■定義

aの近くで定義された関数 f x において,任意の正数 ε に対して,適当な正の数 δ があって,

0< xa <δ のすべてのx について f x b <ε

となるならば,これを

xa のとき f x b あるいは lim xa f x =b

とかき,b xaのときの極限値という

引用元:田島一郎,イプシロン・デルタ.共立出版,1978年,p2

●定義の解説

0< xa <δ より,xaに限りなく近づいた値も含まれることになる.このときでも f x b <ε が成り立たなければならない.また, ε は任意の正数なので, ε 0に限りなく近い場合も含まれる.この場合, f x は限りなくbに近づくことになる.

よって

0< xa <δ のすべてのx について f x b <ε となる

という表現と

xa のとき f x b あるいは lim xa f x =b

は,同じことである.

 

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最終更新日 2023年12月19日

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