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関数の極限の定義

■収束について 

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ において， ${\displaystyle x}$ が ${\displaystyle a}$ と異なる値をとりながら ${\displaystyle a}$ に限りなく近づくとき， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ が一定値 ${\displaystyle \alpha }$ に限りなく近づく場合

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$ （あるいは， ${\displaystyle x\to a}$ のとき ${\displaystyle f\left(x\right)\to \alpha }$ ）

と表す． ${\displaystyle \alpha }$ を ${\displaystyle x\to a}$ のときの ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の極限値といい， ${\displaystyle x\to a}$ のとき， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は ${\displaystyle \alpha }$ に収束するという．

●参考

定義ε-δ論法による極限の定義

$a$ の近くで定義された関数 $f\left(x\right)$ において，任意の正数 $\epsilon$ に対して，適当な正の数 $\delta$ があって， $0<\left|x-a\right|<\delta$ のすべての $x$ について ${\displaystyle \left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon }$ となるならば，これを $x\to a$ のとき $f\left(x\right)\to b$ あるいは ${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=b}$ とかき， $b$ を $x\to a$ のときの極限値という 引用元：田島一郎，イプシロン・デルタ．共立出版，1978年，p2

■発散について 

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ において， ${\displaystyle x}$ が ${\displaystyle a}$ と異なる値をとりながら ${\displaystyle a}$ に限りなく近づくとき， それに応じて， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の値が限りなく大きくなる場合 

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=+\infty }$ （または， ${\displaystyle x\to a}$ のとき ${\displaystyle f\left(x\right)\to +\infty }$ ）

と表す ． ${\displaystyle x\to a}$ のとき， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は正の無限大に発散する という．

また ${\displaystyle x}$ が ${\displaystyle a}$ と異なる値をとりながら ${\displaystyle a}$ に限りなく近づくとき，  ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の値が負で，その絶対値が限りなく大きくなる場合 

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=-\infty }$ （または， ${\displaystyle x\to a}$ のとき ${\displaystyle f\left(x\right)\to -\infty }$ ）

と表す ． ${\displaystyle x\to a}$ のとき， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は負の無限大に発散する という．

■極限なし 

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ について 

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$ ， ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=+\infty }$ ， ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=-\infty }$  

のいずれでもない場合， ${\displaystyle x\to a}$ のときの ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の極限はないという． 

■右側極限，左側極限

変数 ${\displaystyle x}$ が１つの値 ${\displaystyle a}$ に限りなく近づくとき， ${\displaystyle a}$ より大きい値をとりながらに近づく場合と ${\displaystyle a}$ より小さい値をとりながらに近づく場合がある． 

• ${\displaystyle a}$ より大きい値をとりながらに近づく場合には  ${\displaystyle x\to a+0}$
• ${\displaystyle a}$ より小さい値をとりながらに近づく場合には  ${\displaystyle x\to a-0}$

と表し， ${\displaystyle a=0}$ の場合はそれぞれ，  ${\displaystyle x\to +0}$ ， ${\displaystyle x\to -0}$ と表す．

${\displaystyle x\to a+0}$ ， ${\displaystyle x\to a-0}$ のときの ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の極限を，それぞれ ${\displaystyle x}$ が ${\displaystyle a}$ に近づくときの ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の右側極限，左側極限といい 

${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$ ， ${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$  

と表す． 

${\displaystyle \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\alpha }$ であることは， ${\displaystyle x}$ が ${\displaystyle a}$ と異なる値をとりながら ${\displaystyle a}$ に限りなく近づくとき， どのような近づき方をしても， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の値は ${\displaystyle \alpha }$ に限りなく近づくことを意味している．

したがって，

${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$ ならば ${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to a-0}{lim}f\left(x\right)=\alpha }$

である．  ${\displaystyle \underset{x\to a+0}{lim}f\left(x\right)}$ と ${\displaystyle \underset{x\to a-0}{lim}f\left(x\right)}$ の値が異なるならば  ${\displaystyle x\to a}$ のときの ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の極限はない． 

■ ${\displaystyle x\to +\infty ,x\to -\infty }$ のときの極限

これまでは， ${\displaystyle a}$ が一定の数を表すとき， ${\displaystyle x\to a}$ のときの関数の極限を考えたが， ${\displaystyle x\to +\infty }$ （ ${\displaystyle x}$ の値が限りなく大きくなる），あるいは ${\displaystyle x\to -\infty }$ （ ${\displaystyle x}$ の値が負でその絶対値の値が限りなく大きくなる）の場合の極限について説明する． 

${\displaystyle x\to +\infty }$ のとき，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ がある一定値 ${\displaystyle \alpha }$ に限りなく近づく場合

${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\alpha }$ （ ${\displaystyle x\to +\infty }$ のとき ${\displaystyle f\left(x\right)\to \alpha }$ ）  

と表す．

${\displaystyle x\to -\infty }$ のとき，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ がある一定値 ${\displaystyle \alpha }$ に限りなく近づく場合

${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\alpha }$ （ ${\displaystyle x\to -\infty }$ のとき ${\displaystyle f\left(x\right)\to \alpha }$ ）  

と表す．

 

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最終更新日： 2025年4月26日

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