${\displaystyle sin\theta \geqq c}$ の求め方

単位円を用いて ${\displaystyle sin\theta \geqq c}$  を満たす$\theta$の範囲を求める．ただし，$\theta$の範囲は${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{3\pi }{2}}$とする．

単位円では ${\displaystyle sin\theta }$ の値はy 座標に相当する．よって

1. まず，左下図のようにy 軸上のc の値でx 軸に平行な線を引き，単位円との交点を${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$とする．
2. 次に，線分${\displaystyle \text{OP}}$ ，${\displaystyle \text{OQ}}$を引き，x 軸となす角を${\displaystyle {\theta }_1}$ ，${\displaystyle {\theta }_2}$ とおき，直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$，${\displaystyle \text{OQS}}$の内角を求め，${\displaystyle {\theta }_1}$ ，${\displaystyle {\theta }_2}$ を算出する．（三角形${\displaystyle \text{OPR}}$は${\displaystyle \text{OP}=1}$，${\displaystyle \text{RP}=a}$の直角三角形 ）
   ${\displaystyle sin\theta \geqq c}$  を満たす$\theta$の範囲は，単位円上では弧${\displaystyle \text{PQ}}$の部分で，下図の太い半透明の青線の部分となる．すなわち，${\displaystyle {\theta }_1\leqq \theta \leqq {\theta }_2}$ となる．
3. 更に，θの範囲を単位円上に記入する．(左下図の場合は赤線で示してある）．

以上より，$\theta$の範囲（赤線部分）と ${\displaystyle {\theta }_1\leqq \theta \leqq {\theta }_2}$ （太い半透明の青線の部分）が重なった範囲${\displaystyle \frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq {\theta }_2}$ が${\displaystyle sin\theta \geqq c}$ が解となる．

下図では単位円の右側に ${\displaystyle sin\theta }$ のグラフをかき，単位円とグラフの関係を示してある．

 

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最終更新日： 2025年4月27日