三角関数　積和の公式

積和の公式

  1.   sin α cos β = 1 2 { sin ( α + β ) + sin ( α − β ) } 　⇒公式の導出
  2.   cos α sin β = 1 2 { sin ( α + β ) − sin ( α − β ) } 　⇒公式の導出
  3.   cos α cos β = 1 2 { cos ( α + β ) + cos ( α − β ) } 　⇒公式の導出
  4.   sin α sin β = − 1 2 { cos ( α + β ) − cos ( α − β ) } 　 ⇒公式の導出

■解説動画

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■積和の公式の導出

● sin α cos β = 1 2 { sin ( α + β ) + sin ( α − β ) } の導出

sinの加法定理より

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ･･････(1)

sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β ･･････(2)

である．(1)＋(2)より

sin ( α + β ) + sin ( α − β ) = 2 sin α cos β  ･･････(3)

(3)を変形して

sin α cos β = 1 2 { sin ( α + β ) + sin ( α − β ) }

が得られる．

● cos α sin β = 1 2 { sin ( α + β ) − sin ( α − β ) } の導出

sinの加法定理より

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ･･････(1)

sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β ･･････(2)

である．(1)ー(2)より

sin ( α + β ) − sin ( α − β ) = 2 cos α sin β  ･･････(4)

(4)を変形して

cos α sin β = 1 2 { sin ( α + β ) − sin ( α − β ) }

が得られる．

● cos α cos β = 1 2 { cos ( α + β ) + cos ( α − β ) } の導出

cosの加法定理より

cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ･･････(5)

cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ･･････(6)

である．(5)＋(6)より

cos ( α + β ) + cos ( α − β ) = 2 cos α cos β ･･････(7)

(7)を変形して

cos α cos β = 1 2 { cos ( α + β ) + cos ( α − β ) }

が得られる．

● sin α sin β = − 1 2 { cos ( α + β ) − cos ( α − β ) } の導出

cosの加法定理より

cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β ･･････(5)

cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ･･････(6)

である．(5)－(6)より，

cos ( α + β ) − cos ( α − β ) = − 2 sin α sin β ･･････(8)

(8)を変形して

sin α sin β = − 1 2 { cos ( α + β ) − cos ( α − β ) }

が得られる．

 

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最終更新日 2026年2月10日