積和の公式

${\displaystyle sin\alpha cos\beta }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{sin\left(\alpha +\beta \right)+sin\left(\alpha -\beta \right)\right\}}$　　⇒公式の導出

${\displaystyle cos\alpha cos\beta }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{cos\left(\alpha +\beta \right)+cos\left(\alpha -\beta \right)\right\}}$　⇒公式の導出

${\displaystyle sin\alpha sin\beta }$${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left\{cos\left(\alpha +\beta \right)-cos\left(\alpha -\beta \right)\right\}}$　⇒公式の導出

■積和の公式の導出

●${\displaystyle sin\alpha cos\beta }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{sin\left(\alpha +\beta \right)+sin\left(\alpha -\beta \right)\right\}}$ の導出

sinの加法定理より

${\displaystyle sin\left(\alpha +\beta \right)}$${\displaystyle =sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta }$　　･･････(1)

${\displaystyle sin\left(\alpha -\beta \right)}$${\displaystyle =sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta }$　　･･････(2)

である．(1)＋(2)より

${\displaystyle sin\left(\alpha +\beta \right)+sin\left(\alpha -\beta \right)}$${\displaystyle =2sin\alpha cos\beta }$  ･･････(3)

(3)を変形して

${\displaystyle sin\alpha cos\beta }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{sin\left(\alpha +\beta \right)+sin\left(\alpha -\beta \right)\right\}}$

が得られる．

●${\displaystyle cos\alpha cos\beta }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{cos\left(\alpha +\beta \right)+cos\left(\alpha -\beta \right)\right\}}$ の導出

cosの加法定理より

${\displaystyle cos\left(\alpha +\beta \right)}$${\displaystyle =cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta }$ 　　･･････(4)

${\displaystyle cos\left(\alpha -\beta \right)}$${\displaystyle =cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta }$　　･･････(5)

である．(4)＋(5)より

${\displaystyle cos\left(\alpha +\beta \right)+cos\left(\alpha -\beta \right)}$${\displaystyle =2cos\alpha cos\beta }$　　･･････(6)

(6)を変形して

${\displaystyle cos\alpha cos\beta }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\left\{cos\left(\alpha +\beta \right)+cos\left(\alpha -\beta \right)\right\}}$

が得られる．

●${\displaystyle sin\alpha sin\beta }$${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left\{cos\left(\alpha +\beta \right)-cos\left(\alpha -\beta \right)\right\}}$ の導出

cosの加法定理より

${\displaystyle cos\left(\alpha +\beta \right)}$${\displaystyle =cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta }$　　･･････(4)

${\displaystyle cos\left(\alpha -\beta \right)}$${\displaystyle =cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta }$　　･･････(5)

である．(4)−(5)より，

${\displaystyle cos\left(\alpha +\beta \right)-cos\left(\alpha -\beta \right)}$${\displaystyle =-2sin\alpha sin\beta }$　　･･････(7)

(7)を変形して

${\displaystyle sin\alpha sin\beta }$${\displaystyle =-\frac{1}{2}\left\{cos\left(\alpha +\beta \right)-cos\left(\alpha -\beta \right)\right\}}$

が得られる．

 

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最終更新日 2023年3月2日