三角関数　和積の公式

和積の公式

  1.   sin ϕ + sin θ = 2 sin ϕ + θ 2 cos ϕ − θ 2 ⇒公式の導出
  2.   sin ϕ − sin θ = 2 cos ϕ + θ 2 sin ϕ − θ 2 ⇒公式の導出
  3.   cos ϕ + cos θ = 2 cos ϕ + θ 2 cos ϕ − θ 2 ⇒公式の導出
  4.   cos ϕ − cos θ = − 2 sin ϕ + θ 2 sin ϕ − θ 2 ⇒公式の導出

■公式の導出

● sin ϕ + sin θ = 2 sin ϕ + θ 2 cos ϕ − θ 2 の公式の導出

積和の公式  sin α cos β = 1 2 { sin ( α + β ) + sin ( α − β ) }  に， α = ϕ + θ 2 ， β = ϕ − θ 2   として代入すると

sin ϕ + θ 2 cos ϕ − θ 2 = 1 2 sin ( ϕ + θ 2 + ϕ − θ 2 ) + sin ( ϕ + θ 2 − ϕ − θ 2 ) = 1 2 ( sin ϕ + sin θ )

したがって

sin ϕ + sin θ = 2 sin ϕ + θ 2 cos ϕ − θ 2  

となる．

● sin ϕ − sin θ = 2 cos ϕ + θ 2 sin ϕ − θ 2 の公式の導出

積和の公式  sin α cos β = 1 2 { sin ( α + β ) + sin ( α − β ) }  に， α = ϕ − θ 2 ， β = ϕ + θ 2   として代入すると

sin ϕ − θ 2 cos ϕ + θ 2 = 1 2 sin ( ϕ − θ 2 + ϕ + θ 2 ) + sin ( ϕ − θ 2 − ϕ + θ 2 )

= 1 2 { sin ϕ + sin ( − θ ) }

= 1 2 ( sin ϕ − sin θ )  

したがって

sin ϕ − sin θ = 2 cos ϕ + θ 2 sin ϕ − θ 2  

となる．

● cos ϕ + cos θ = 2 cos ϕ + θ 2 cos ϕ − θ 2 の公式の導出

積和の公式  cos α cos β = 1 2 { cos ( α + β ) + cos ( α − β ) }  に， α = ϕ + θ 2 ， β = ϕ − θ 2   として代入すると

cos ϕ + θ 2 cos ϕ − θ 2 = 1 2 cos ( ϕ + θ 2 + ϕ − θ 2 ) + cos ( ϕ + θ 2 − ϕ − θ 2 )

= 1 2 ( cos ϕ + cos θ )

したがって

cos ϕ + cos θ = 2 cos ϕ + θ 2 cos ϕ − θ 2  

となる．

● cos ϕ − cos θ = − 2 sin ϕ + θ 2 sin ϕ − θ 2 の公式の導出

積和の公式  sin α sin β = − 1 2 { cos ( α + β ) − cos ( α − β ) }  に， α = ϕ + θ 2 ， β = ϕ − θ 2   として代入すると

sin ϕ + θ 2 sin ϕ − θ 2 = − 1 2 cos ( ϕ + θ 2 + ϕ − θ 2 ) − cos ( ϕ + θ 2 − ϕ − θ 2 )

= − 1 2 ( cos ϕ − cos θ )

したがって

cos ϕ − cos θ = − 2 sin ϕ + θ 2 sin ϕ − θ 2  

となる．

 

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最終更新日： 2026年2月10日