積分　（cosx）^3

${\displaystyle \int {cos}^{3}xdx}$

高次の三角関数の積分になるので，積分の計算手順より，三角関数の1次化のための公式を用いて次数を下げて積分が可能な形にもっていく．

${\displaystyle \int {\cos }^{3}xdx}$${\displaystyle =\int \frac{3\cos x+\cos 3x}{4}dx}$

${\displaystyle =\frac{3}{4}\int \cos xdx+\frac{1}{4}\int \cos 3xdx}$

${\displaystyle =\frac{3}{4}\sin x+\frac{1}{12}\sin 3x+C}$　　（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

次に角の統一を図る．

置換積分で解く方法もある．

${\displaystyle \int {cos}^{3}xdx=\int \left(1-{sin}^{2}x\right)cosxdx}$

となるので，${\displaystyle sinx=t}$  とおくと，${\displaystyle \frac{dt}{dx}=cosx\to cosxdx=dt}$  となる．よって

${\displaystyle \int \left(1-{\sin }^{2}x\right)\cos xdx}$${\displaystyle =\int \left(1-t^2\right)dt}$

${\displaystyle =t-\frac{1}{3}{t}^3+C}$

${\displaystyle =\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x+C}$　　（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

となり，同じ結果が得られる．

 

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最終更新日：2023年1月30日