積分　(sinx)^3

${\displaystyle \int {sin}^{3}xdx}$

高次の三角関数の積分になるので，積分の計算手順より，三角関数の1次化のための公式を用いて
次数を下げて積分が可能な形にもっていく．

${\displaystyle \int {\sin }^{3}xdx}$${\displaystyle =\int \frac{3\sin x-\sin 3x}{4}dx}$

${\displaystyle =\frac{3}{4}\int \sin xdx-\frac{1}{4}\int \sin 3xdx}$

${\displaystyle =-\frac{3}{4}\cos x+\frac{1}{12}\cos 3x+C}$　　（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

次に角の統一を図る．

置換積分で解く方法もある．

${\displaystyle \int {sin}^{3}xdx=\int \left(1-{cos}^{2}x\right)sinxdx}$

となるので，${\displaystyle cosx=t}$  とおくと，${\displaystyle \frac{dt}{dx}=-sinx\to sinxdx=-dt}$ となる．よって

${\displaystyle \int \left(1-{\cos }^{2}x\right)\sin xdx}$${\displaystyle =\int \left(-1+t^2\right)dt}$

${\displaystyle =-t+\frac{1}{3}{t}^3+C}$

${\displaystyle =-\cos x+\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+C}$　　（ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

となり，同じ結果が得られる．

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の具体事例>>積分　(sinx)^3

最終更新日：2023年1月30日