体積・曲面積

体積，曲面積は重積分により求めることができる．

• 体積の公式

  ${\displaystyle V={\iint }_{D}f\left(x,y\right)dxdy}$

• 断面積の積分

  ${\displaystyle D:a\leqq x\leqq b,\phi \left(x\right)\leqq y\leqq \psi \left(x\right)}$ ならば，曲面${\displaystyle z=f\left(x,y\right)\geqq 0}$までの${\displaystyle D}$の上の部分の体積${\displaystyle V}$は

  ${\displaystyle V={\int }_a^{b}S\left(x\right)dx,S\left(x\right)}$${\displaystyle ={\int }_{\phi \left(x\right)}^{\psi \left(x\right)}f\left(x,y\right)dy}$

• 面積・体積

  ${\displaystyle D}$が平面上の集合ならば，${\displaystyle D}$の面積${\displaystyle A\left(D\right)}$ は

  ${\displaystyle A\left(D\right)={\displaystyle {\iint }_{D}dxdydz}}$

  ${\displaystyle D}$が空間の集合ならば，${\displaystyle D}$の体積${\displaystyle V\left(D\right)}$ は

  ${\displaystyle V\left(D\right)={\iiint }_{D}dxdydz}$

• 表面積

  曲面${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$の${\displaystyle D}$上の部分の表面積${\displaystyle S}$は

  ${\displaystyle S={\iint }_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy}$

• 極座標による表面積

  ${\displaystyle x=rcos\theta }$，${\displaystyle y=rsin\theta }$　${\displaystyle \left(r\geqq 0\right)}$によって$xy$ 平面上の集合${\displaystyle D}$が${\displaystyle r\theta }$平面の集合${\displaystyle D\text{'}}$に移れば，曲面${\displaystyle z=f\left(x,y\right)}$の${\displaystyle D}$上にある部分の表面積${\displaystyle S}$は

  ${\displaystyle S={\iint }_{D\text{'}}\sqrt{r^2+{\left(r{z}_r\right)}^2+z_{\theta }^2}drd\theta }$

• 回転面の表面積 $xy$ 平面上の曲線${\displaystyle y=f\left(x\right)}$　${\displaystyle \left(a\leqq x\leqq b\right)}$が$x$ 軸のまわりに回転してできる回転面の表面積${\displaystyle S}$は

  ${\displaystyle S=2\pi {\int }_a^{b}f\left(x\right)\sqrt{1+f\text{'}{\left(x\right)}^2}dx}$

 

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最終更新日： 2024年10月7日