${\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}}$ の証明

$a>0$ ， $m$ ， $n$ は正の整数

${\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=x}$ とおく．

（ $a>0$ より， $\sqrt[n]{a}>0$ ．よって， ${\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=x>0}$ ）

まず，両辺を m 乗する．

${\displaystyle {\left\{\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}\right\}}^m=x^m}$

累乗根の定義より

${\displaystyle \sqrt[n]{a}=x^m}$

さらに，両辺を n 乗する．

${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n={\left(x^m\right)}^n}$

同様に，累乗根の定義より

${\displaystyle a={\left(x^m\right)}^n}$

指数法則 ${\displaystyle {\left(p^m\right)}^n=p^{mn}}$ を用いると

${\displaystyle {\left(x^m\right)}^n=x^{mn}}$

よって

${\displaystyle x^{mn}=a}$

また，

${\displaystyle a>0}$ ， ${\displaystyle x>0}$

であるので，累乗根の定義より

${\displaystyle x=\sqrt[mn]{a}}$

すなわち

${\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}}$

となる．

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最終更新日： 2025年5月1日