累乗根

n を正の整数とするとき，数xをn乗するとaになる数xのことを a の n 乗根といい，式で書くと

${\displaystyle x^n=a}$　　（n ：正の整数）

の関係がある．

${\displaystyle y=x^n}$  の関係を用いてn乗根を考える．

■ n が奇数の場合

$y=a$  のとき，${\displaystyle y=x^n}$  を満たすx  はただ1つ定まる．その値${\displaystyle x_1}$  がa のn 乗根で

${\displaystyle \sqrt[n]{a}}$  

と表す．

図からわかるように

${\displaystyle a>0}$  ならば，${\displaystyle \sqrt[n]{a}>0}$

${\displaystyle a<0}$  ならば，${\displaystyle \sqrt[n]{a}<0}$

となる．

 

■ n が偶数の場合

$y=a$  ${\displaystyle \left(a>0\right)}$  のとき，${\displaystyle y=x^n}$  を満たすx  は2つ定まる．

正の方　${\displaystyle x_1}$  を　${\displaystyle \sqrt[n]{a}}$  

負の方　${\displaystyle x_2}$  を　${\displaystyle -\sqrt[n]{a}}$  

と表す．

必ず${\displaystyle \sqrt[n]{a}>0}$  となることに注意する． 例としては，${\displaystyle \sqrt{{\left(-5\right)}^2}=-5}$  ではなく ${\displaystyle \sqrt{{\left(-5\right)}^2}=5}$ である． 　

また

${\displaystyle a=0}$  のとき，${\displaystyle \sqrt[n]{0}=0}$  

とし

${\displaystyle a<0}$  のとき，${\displaystyle a=x^n}$ を満たすx  は存在しない

とする．

2乗根を平方根，3乗根を立方根ともいう．2乗根は ${\displaystyle \sqrt[2]{a}}$  とは書かず2を省略して${\displaystyle \sqrt{a}}$  と書く．

a のn 乗根${\displaystyle \sqrt[n]{a}}$ をn 乗すると$a$  となる．すなわち

${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a}$  

 

累乗根の計算は，以下に示す計算法則が成り立つ

 

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最終更新日： 2023年7月28日