累乗根

$n$ を正の整数とするとき，数 $x$ を $n$ 乗すると $a$ になる数 $x$ のことを $a$ の $n$ 乗根といい，式で書くと

${\displaystyle x^n=a}$ （ n ：正の整数）

の関係がある．

${\displaystyle y=x^n}$ の関係を用いて n 乗根を考える．

■ n が奇数の場合

$y=a$ のとき， ${\displaystyle y=x^n}$ を満たす x はただ1つ定まる．その値 ${\displaystyle x_1}$ が $a$ の $n$ 乗根で

${\displaystyle \sqrt[n]{a}}$

と表す．

図からわかるように

${\displaystyle a>0}$ ならば， ${\displaystyle \sqrt[n]{a}>0}$

${\displaystyle a<0}$ ならば， ${\displaystyle \sqrt[n]{a}<0}$

となる．

 

■ n が偶数の場合

$y=a$   ${\displaystyle \left(a>0\right)}$ のとき， ${\displaystyle y=x^n}$ を満たす x は2つ定まる．

正の方の ${\displaystyle x_1}$ を ${\displaystyle \sqrt[n]{a}}$

負の方の ${\displaystyle x_2}$ を ${\displaystyle -\sqrt[n]{a}}$

と表す．

必ず ${\displaystyle \sqrt[n]{a}>0}$ となることに注意する． 例としては， ${\displaystyle \sqrt{{\left(-5\right)}^2}=-5}$ ではなく ${\displaystyle \sqrt{{\left(-5\right)}^2}=5}$ である．

また

${\displaystyle a=0}$ のとき， ${\displaystyle \sqrt[n]{0}=0}$

とし

${\displaystyle a<0}$ のとき， ${\displaystyle a=x^n}$ を満たす x は存在しない

とする．

2乗根を平方根，3乗根を立方根ともいう．2乗根は ${\displaystyle \sqrt[2]{a}}$ とは書かず2を省略して ${\displaystyle \sqrt{a}}$ と書く．

$a$ の $n$ 乗根 ${\displaystyle \sqrt[n]{a}}$ を $n$ 乗すると $a$ となる．すなわち

${\displaystyle {\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a}$

 

累乗根の計算は，以下に示す計算法則が成り立つ

 

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最終更新日： 2025年5月1日