${\displaystyle \sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}}$ の証明 

${\displaystyle \sqrt[n]{a^m}=x}$ とおく．

まず，両辺をn  乗する．

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left\{\sqrt[n]{a^m}\right\}}^n=x^n\\ a^m=x^n\end{array}}$

さらに，両辺をp  乗する．

${\displaystyle {\left(a^m\right)}^p={\left(x^n\right)}^p}$

指数法則 ${\displaystyle {\left(p^m\right)}^n=p^{mn}}$  を用いると

${\displaystyle a^{mp}=x^{np}}$

また

${\displaystyle a^{mp}>0}$ ，${\displaystyle x>0}$

であるので，累乗根の定義より

${\displaystyle \sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}}$

となる．

 

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最終更新日： 2023年7月28日