${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}$ の証明 

${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=x}$  とおく．

まず，両辺をn  乗する．

${\displaystyle {\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)}^n=x^n}$

指数法則 ${\displaystyle {\left(\frac{p}{q}\right)}^n=\frac{p^n}{q^n}}$  を用いると

${\displaystyle {\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)}^n=\frac{{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n}{{\left(\sqrt[n]{b}\right)}^n}=\frac{a}{b}}$

よって

${\displaystyle x^n=\frac{a}{b}}$

また

${\displaystyle \frac{a}{b}>0}$ ，${\displaystyle x>0}$

であるので，累乗根の定義より，

${\displaystyle x=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}$

すなわち

${\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}$

となる．

 

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最終更新日： 2023年7月28日