指数不等式の解法

1. 底をそろえる（指数計算の手順に従う）．

2. ${\displaystyle a^x>a^k}$ （不等号は<，≧，≦の場合もある）の形に式を導びく．導けない場合は3へ

   • ${\displaystyle a>1}$  の場合

     答えは ${\displaystyle x>k}$

   • ${\displaystyle 0<a<1}$  の場合

     答えは ${\displaystyle x<k}$    注意：不等号の符号の向きが逆になる．

3. ${\displaystyle a^{f\left(x\right)}>a^k}$  （不等号は<，≧，≦の場合もある）の形に式を導びく．導けない場合は4へ

   • ${\displaystyle a>1}$  の場合

     答えは ${\displaystyle f\left(x\right)>k}$  を解くことによって得られる ．

   • ${\displaystyle 0<a<1}$  の場合

     答えは ${\displaystyle f\left(x\right)<k}$  を解くことによって得られる ．     注意：不等号の符号の向きが逆になる．

4. 方程式が ${\displaystyle a^x>a^k}$ の形に導けない場合は，${\displaystyle a^x=t}$  とおいて整式に帰着する ．このとき，${\displaystyle t>0}$ に注意．

   まずt について解き，得られたt よりx を求める．

   例： ${\displaystyle 4^x-2^x-12>0}$  

   この場合，${\displaystyle 2^x}$  に着目し，${\displaystyle 2^x=t}$  とおいて与式を以下のように解く

   ${\displaystyle \begin{array}{l}{4}^x-2^x-12>0\\ {\left(2^2\right)}^x-2^x-12>0\\ {\left(2^x\right)}^2-2^x-12>0\\ t^2-t-12>0\\ \left(t-4\right)\left(t+3\right)>0\end{array}}$

   ${\displaystyle t>0}$ より ${\displaystyle t>4}$

   x の式に直すと，${\displaystyle 2^x>4}$  すなわち，${\displaystyle 2^x>2^2}$

   よって，${\displaystyle x>2}$

 

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最終更新日： 2024年10月4日