対数不等式の解法

1. 底をそろえる（対数計算の手順に従う）．

2. ${\displaystyle {log}_{a}x>{log}_{a}k}$  （不等号は<，≧，≦の場合もある）の形に式を導びく． 導けない場合は3へ

   • ${\displaystyle a>1}$  の場合

     答えは ${\displaystyle x>k}$

   • ${\displaystyle 0<a<1}$  の場合

     答えは ${\displaystyle x<k}$    注意：不等号の符号の向きが逆になる．

3. ${\displaystyle {log}_{a}f\left(x\right)>{log}_{a}k}$ の形に式を導びく． 導けない場合は4へ

   • ${\displaystyle a>1}$  の場合

     答えは ${\displaystyle f\left(x\right)>k}$  を解くことによって得られる ．

   • ${\displaystyle 0<a<1}$  の場合

     答えは ${\displaystyle f\left(x\right)>k}$  を解くことによって得られる ．     注意：不等号の符号の向きが逆になる．

4. 方程式が上記の形に導けない場合は，${\displaystyle {log}_{a}x=t}$  とおいて整式に帰着する．

   まずt について解き，得られたt よりx を求める．

   例： ${\displaystyle {\left({log}_{2}x\right)}^2+{log}_{2}4x^3>0}$

   この場合，${\displaystyle {log}_{2}x}$  に着目し，${\displaystyle {log}_{2}x=t}$  とおいて与式を以下のように解く

   ${\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{l}{\left({log}_{2}x\right)}^2+{log}_{2}4x^3>0\\ {\left({log}_{2}x\right)}^2+{log}_{2}4+{log}_2{x}^3>0\\ {\left({log}_{2}x\right)}^2+3{log}_{2}x+{log}_{2}4>0\\ t^2+3t+2=0\\ \left(t+2\right)\left(t+1\right)>0\\ t>-1,t<-2\end{array}}}$

   • ${\displaystyle t>-1}$ のとき

     ${\displaystyle {log}_{2}x>-1\to x>2^{-1}=\frac{1}{2}}$

   • ${\displaystyle t<-2}$ のとき

     ${\displaystyle {log}_{2}x<-2\to x<2^{-2}=\frac{1}{4}}$

   よって，${\displaystyle x>\frac{1}{2},x<\frac{1}{4}}$

5. 真数条件(真数が正である条件)を満たしていることを確認する．満たしていないものは除外する．

 

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最終更新日： 2024年11月1日