恒等式

恒等式とは，等式に含まれている文字に任意の文字を代入しても，その等式の両辺の値が存在する限りつねになりたつ等式のこと．

整式から成る恒等式の性質

● 性質1：

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$  が文字 ${\displaystyle x}$  について恒等式   ${\displaystyle \iff }$    ${\displaystyle a=b=c=0}$   （係数＝0）

恒等式であるので ${\displaystyle x=-1,0,1}$ を代入しても等式は成り立ちつ．よって

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ c=0\\ a+b+c=0\end{array}}$

の連立方程式が得られる． これを解くと ${\displaystyle a=b=c=0}$  となる．

● 性質2：

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }}$  が文字 ${\displaystyle x}$  について恒等式

${\displaystyle \iff }$    ${\displaystyle a=a^{\prime },b=b^{\prime },c=c^{\prime }}$   （同じ次数の係数が等しい）

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }}$  を右辺−左辺＝0に式を変形する．すると

${\displaystyle \left(a-a^{\prime }\right)x^2+\left(b-b^{\prime }\right)x+\left(c-c^{\prime }\right)=0}$

が得られる．性質1より，   ${\displaystyle a=a^{\prime },b=b^{\prime },c=c^{\prime }}$  が導かれる．

2次の整式について示したが，上の性質は ${\displaystyle n}$ 次の整式でも成り立つ．

■ひとこと

恒等式の問題では，係数を求めなければならない場合がよくある．このような問題を解く手法として

1. 数値代入法：適当な数値を代入して，係数の連立方程式を作り解く．
   （ ${\displaystyle n}$ 次の恒等式で${\displaystyle n+1}$ 個の係数（定数項を$0$次の係数と考えている）の内、${\displaystyle m}$個の係数が分かっている場合，残りの${\displaystyle \left(n+1\right)-m}$ 個の係数を求めるには${\displaystyle \left(n+1\right)-m}$ 個の数値を代入する必要がある）

2. 係数比較法：両辺の同じ次数の項の係数を比較する連立方程式を作り解く．

がある．

●事例

恒等式

${\displaystyle x^2+3x+2=\left(x+a\right)\left(x+b\right)}$　･･････(1)

が成り立つ$a$，$b$を求めよ．

◇数値代入法で解く場合

(1)の右辺を展開すると

${\displaystyle x^2+3x+2}$${\displaystyle =x^2+\left(a+b\right)x+ab}$　･･････(2)

となる．

(2)をみると，${\displaystyle x^2}$ の係数は$1$ で既に決まっている．よって，${\displaystyle \left(2+1\right)-1=2}$ 個の数値を(2)に代入する

(2)に${\displaystyle x=0}$ を代入すると

${\displaystyle 2=ab}$　･･････(3)

(2)に${\displaystyle x=1}$ を代入すると

${\displaystyle 6=1+\left(a+b\right)+ab}$　･･････(4)

となり，(3)，(4)からなる連立方程式が得られる．これを解く．

(3)使って(4)を書き換える．

${\displaystyle 6=1+\left(a+b\right)+2}$

${\displaystyle a=3-b}$　･･････(5)

(5)を(3)に代入する．

${\displaystyle 2=\left(3-b\right)b}$

${\displaystyle 2=3b-b^2}$

${\displaystyle b^2-3b+2=0}$

${\displaystyle \left(b-1\right)\left(b-2\right)=0}$

${\displaystyle b=1,2}$

${\displaystyle b=1}$ のとき，(3)より

${\displaystyle a=2}$

${\displaystyle b=2}$ のとき，(3)より

${\displaystyle a=1}$

◇係数非核法で解く場合

(2)より${\displaystyle x^2}$ の係数は$1$ で既に決まっている．よって，$x$ の係数と定数項を比較して連立方程式を立てると

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a+b=3\\ ab=2\end{array}\right.}$

が得られる．これを解くと

${\displaystyle \left(a,b\right)=\left(1,2\right),\left(2,1\right)}$

となる．

 

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最終更新日： 2025年10月10日