恒等式

恒等式とは，等式に含まれている文字に任意の文字を代入しても，その等式の両辺の値が存在する限りつねになりたつ等式のこと．

整式の等式の性質

● 性質1：

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0}$  が文字${\displaystyle x}$ について恒等式   ${\displaystyle \iff }$   ${\displaystyle a=b=c=0}$  （係数＝0）

恒等式であるので${\displaystyle x=-1,0,1}$を代入しても等式は成り立ちます．よって

${\displaystyle \{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ c=0\\ a+b+c=0\end{array}}$

の連立方程式が得られます． これを解くと${\displaystyle a=b=c=0}$ となります．

● 性質2：

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }}$ が文字${\displaystyle x}$ について恒等式

${\displaystyle \iff }$    ${\displaystyle a=a^{\prime },b=b^{\prime },c=c^{\prime }}$   （同じ次数の係数が等しい）

${\displaystyle a{x}^2+bx+c=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }}$ を右辺−左辺＝0に式を変形する．すると

${\displaystyle \left(a-a^{\prime }\right)x^2+\left(b-b^{\prime }\right)x+\left(c-c^{\prime }\right)=0}$

が得られる．性質1より，   ${\displaystyle a=a^{\prime },b=b^{\prime },c=c^{\prime }}$  が導かれる．

2次の整式について示したが，上の性質は${\displaystyle n}$ 次の整式でも成り立つ．

■ひとこと

恒等式の問題では，係数を求めなければならない場合がよくある．このような問題を解く手法として

1. 数値代入法：適当な数値を代入して，係数の連立方程式を作り解く．
   　　　　　　　　　　　（${\displaystyle n}$次の恒等式であれば ${\displaystyle n-1}$個の数値を代入する必要がある． ）

2. 係数比較法：両辺の同じ次数の項の係数を比較する連立方程式を作り解く．

がある．

 

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最終更新日： 2023年7月14日