対称式

対称式： ${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ の多項式において， ${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ のどの2つを入れ替えても，もとの式と同じになるものを ${\displaystyle a,b,c,\cdots }$ の対称式という．

■具体例

• ${\displaystyle a,b}$ の対称式

  • ${\displaystyle a^2-ab+b^2}$
  • ${\displaystyle {\left(ab\right)}^2-a-b}$

• ${\displaystyle a,b,c}$ の対称式

  • ${\displaystyle a^2+b^2+c^2}$
  • ${\displaystyle a^{2}bc+b^{2}ca+c^{2}ab}$

基本対称式： ${\displaystyle a,b}$ の対称式 の中で， ${\displaystyle a+b,ab}$ を 基本対称式といいます． ${\displaystyle a,b,c}$ の対称式の中で， ${\displaystyle a+b+c,ab+bc+ca,abc}$ を基本対称式という．一般に，対称式はその基本対称式で表すことができる．

●具体例

• ${\displaystyle a^2-ab+b^2={\left(a+b\right)}^2-3ab}$
• ${\displaystyle {\left(ab\right)}^2-a-b={\left(ab\right)}^2-\left(a+b\right)}$
• ${\displaystyle a^2+b^2+c^2}$ ${\displaystyle ={\left(a+b+c\right)}^2-2\left(ab+bc+ca\right)}$
• ${\displaystyle a^2+b^2+c^2}$ ${\displaystyle ={\left(a+b+c\right)}^2-2\left(ab+bc+ca\right)}$
• ${\displaystyle a^{2}bc+b^{2}ca+c^{2}ab=abc\left(a+b+c\right)}$

入試問題においては，対称式を基本対称式で表すことにより計算できる問題がよくある．

 

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最終更新日： 2025年4月26日