平方根（ルート）

2乗すると $a$ になる数を $a$ の平方根という．2乗すると $a$ となるので， $a\ge 0$ である．

たとえば， $2$ を2乗すると $4$ になる．よって， $2$ は $4$ の平方根である．また， $-2$ を2乗すると $4$ である．よって， $-2$ も $4$ の平方根である．すなわち， $4$ の平方根は， $2$ ， $-2$ の2つある．

一般化すると，正の数 $a$ の平方根は，正の値と負の値の2つあり，記号 $\sqrt{}$ を用いて

正の値の平方根を ${\displaystyle \sqrt{a}}$ ，負の値の平方根を $-\sqrt{a}$

で表わす．

2乗して $0$ になるのは $0$ だけであるので

$\sqrt{0}=0$

とする．

記号 $\sqrt{}$ を根号といい， $\sqrt{a}$ を 「ルート $a$ 」という．

平方根の定義より，根号 $\sqrt{}$ の中の値は「正の数」あるいは「 $0$ 」でなければならない．「負の数」になってはいけない．

■平方根の性質

• $b\ge 0$ のとき， ${\displaystyle \sqrt{b^2}=b}$   ･･････(1)

• 【重要】 ${\displaystyle b<0}$ のとき， ${\displaystyle \sqrt{b^2}=-b}$   ･･････(2)

  例：$b=-2$のとき，${\displaystyle \sqrt{{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{4}=2=-\left(-2\right)}$

(1)，(2)を1つの式で表わすと

${\displaystyle \sqrt{b^2}=\left|b\right|\geqq 0}$

となる．

■例

$1$ の平方根は， ${\displaystyle \sqrt{1}=1}$

$2$ の平方根は， ${\displaystyle \sqrt{2}}$

$3$ の平方根は， ${\displaystyle \sqrt{3}}$

$4$ の平方根は， ${\displaystyle \sqrt{4}=2}$

$5$ の平方根は， ${\displaystyle \sqrt{5}}$

$6$ の平方根は， ${\displaystyle \sqrt{6}}$

$7$ の平方根は， ${\displaystyle \sqrt{7}}$

$8$ の平方根は， ${\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}}$

$9$ の平方根は， ${\displaystyle \sqrt{9}=3}$

 

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最終更新日： 2025年12月19日