三角不等式

実数 $x$ ， $y$ に対して不等式が成り立つ

$\left|x\right|-\left|y\right|\leqq \left|x+y\right|\leqq \left|x\right|+\left|y\right|$ ･･････(1)

が成り立つ．

■証明

(1)の不等式を2つに分ける．

${\displaystyle \left|x+y\right|\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$

${\displaystyle \left|x\right|-\left|y\right|\leqq \left|x+y\right|}$

● ${\displaystyle \left|x+y\right|\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$ の証明

${\displaystyle -\left|x\right|\leqq x\leqq \left|x\right|}$ ･･････(2)

${\displaystyle -\left|y\right|\leqq y\leqq \left|y\right|}$ ･･････(3)

(2)+(3)より

${\displaystyle -\left|x\right|-\left|y\right|\leqq x+y\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$

${\displaystyle \left|x+y\right|\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$

● ${\displaystyle \left|x\right|-\left|y\right|\leqq \left|x+y\right|}$ の証明

${\displaystyle -\left|x\right|\leqq x\leqq \left|x\right|}$ ･･････(4)

${\displaystyle -\left|y\right|\leqq -y\leqq \left|y\right|}$ ･･････(5)

(4)+(5)より

${\displaystyle -\left|x\right|-\left|y\right|\leqq x-y\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$

${\displaystyle \left|x-y\right|\leqq \left|x\right|+\left|y\right|}$ ･･････(6)

ここで，

$x-y=z$ ･･････(7)

とおくと

$x=z+y$ ･･････(8)

（7），(8)を(6)に代入すると

$\left|z\right|\leqq \left|z+y\right|+\left|y\right|$ ･･････(8)

となる．

$z$ を $x$ に書き換えると

$\left|x\right|\leqq \left|x+y\right|+\left|y\right|$

$\left|x\right|-\left|y\right|\leqq \left|x+y\right|$

が得られる．

■1次元ベクトルを使って，解説する．

$\left|x\right|=a$ とすると， $x$ は $a$ あるいは $-a$ である．また， $\left|y\right|=b$ とすると， $y$ は $b$ あるいは $-b$ である．ただし， ${\displaystyle a\leqq b}$ とする．これらを，以下の2つの1次元ベクトルで表現することにする.

$a$ ：， $-a$ ：， $b$ ：， $b$ ：

$x+y$ の計算の組み合わせは，以下の4通りになる．

• $x=a$ ， $y=b$  の場合

  

• $x=-a$ ， $y=b$  の場合

  

• $x=a$ ， $y=-b$  の場合

  

• $x=-a$ ， $y=-b$  の場合

  

$x+y$ の取りうる値を，小さい順に並べると, $-a-b$ ， $a-b$ ， $-a+b$ ， $a+b$ となる．

${\displaystyle \left|-a-b\right|=\left|-\left(a+b\right)\right|}$${\displaystyle =\left|a+b\right|}$${\displaystyle =a+b}$

より， ${\displaystyle \left|x+y\right|}$ の最大値は， $a+b$ となり

$\left|x+y\right|\leqq a+b=\left|x\right|+\left|y\right|$ ･･････(9)

が成り立つ．(9)は， $x$ ， $y$ の対称性を考えると， ${\displaystyle a\geqq b}$ の場合も成り立つ.

$\left|-a+b\right|=\left|-\left(a-b\right)\right|=\left|a-b\right|$

より， ${\displaystyle \left|x+y\right|}$ の最小値は， $\left|a-b\right|$ となり

$\left|a-b\right|\leqq \left|x+y\right|$

が成り立つ.

${\displaystyle a\leqq b}$ より

$a-b\leqq 0$

である．よって

${\displaystyle a>b}$ の場合は， $\left|a-b\right|=a-b$ より

となる．

(10)，(11)より，任意の $x$ ， $y$ に対して

${\displaystyle \left|x\right|-\left|y\right|\leqq \left|x+y\right|}$

が成り立つ．

 

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最終更新日： 2026年9月6日