相加平均と相乗平均の関係

$x > 0, y > 0, z > 0$ において，

相加平均とは： $\frac{x + y}{2}, \frac{x + y + z}{3}$

相乗平均とは： $\sqrt{x y}, \sqrt[3]{x y z}$

相加平均と相乗平均の間には

$\frac{x + y}{2} ≧ \sqrt{x y}$ （等号が成り立つのは， $x = y$ の時である．）　･･････(1)

$\frac{x + y + z}{3} ≧ \sqrt[3]{x y z}$ （等号が成り立つのは， $x = y = z$ の時である．）　･･････(2)

の不等式の関係がある．

■証明

●(1)の証明

${(\frac{x + y}{2})}^{2} - {(\sqrt{x y})}^{2}$

$= \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x y + \frac{1}{4} y^{2} - x y$

$= \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x y + \frac{1}{4} y^{2}$

$= {(\frac{x - y}{2})}^{2} ≧ 0$

したがって

${(\frac{x + y}{2})}^{2} ≧ {(\sqrt{x y})}^{2}$

$\frac{x + y}{2} ≧ \sqrt{x y}$

【別証明】

(1)の式を以下のように書き直す.

$\frac{x + y}{2} ≧ \sqrt{x y}$

$x + y ≧ 2 \sqrt{x y}$

$x + y ≧ 2 \sqrt{x} \sqrt{y}$ 　･･････(3)

$X = \sqrt{x}$ ， $Y = \sqrt{y}$ と置いて(3)を書き換える.

$X^{2} + Y^{2} ≧ 2 X Y$

$X^{2} + Y^{2} - 2 X Y ≧ 0$ 　･･････(4)

(4)を証明する．

$X^{2} + Y^{2} - 2 X Y$ $= {(X - Y)}^{2} ≧ 0$

したがって，(4)が成り立ち，(1)も成り立つことになる．

●(2)の証明

(2)の式を以下のように書き直す.

$\frac{x + y + z}{3} ≧ \sqrt[3]{x y z}$

$x + y + z ≧ 3 \sqrt[3]{x y z}$

$x + y + z ≧ 3 \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y} \sqrt[3]{z}$ 　･･････(5)

$X = \sqrt[3]{x}$ ， $Y = \sqrt[3]{y}$ ， $Z = \sqrt[3]{z}$ と置いて(5)を書き換える.

$X^{3} + Y^{3} + Z^{3} ≧ 3 X Y Z$

$X^{3} + Y^{3} + Z^{3} - 3 X Y Z ≧ 0$ 　･･････(6)

(6)を証明する．

$X^{3} + Y^{3} + Z^{3} - 3 X Y Z$

因数分解する．因数分解の計算は備考を参照

$= (X + Y + Z) (X^{2} + Y^{2} + Z^{2} - X Y - Y Z - Z X)$

$= \frac{1}{2} (X + Y + Z) (2 X^{2} + 2 Y^{2} + 2 Z^{2} - 2 X Y - 2 Y Z - 2 Z X)$

$= \frac{1}{2} (X + Y + Z) \{{(X - Y)}^{2} + {(Y - Z)}^{2} + {(Z - X)}^{2}\} ≧ 0$

したがって，(6)が成り立ち，(2)も成り立つことになる．

●備考

$\begin{array}{l} X^{2} + Y^{2} + Z^{2} - X Y - Y Z - Z X \\ X + Y + Z & \bar{) X^{3} + Y^{3} + Z^{3} - 3 X Y Z} \\ \underset{⇁}{X^{3} + X^{2} Y + X^{2} Z} \\ Y^{3} + Z^{3} - X^{2} Y - X^{2} Z - 3 X Y Z \\ \underline{X Y^{2} + Y^{3} + Y^{2} Z} \\ Z^{3} - X^{2} Y - X^{2} Z - X Y^{2} - Y^{2} Z - 3 X Y Z \\ \underline{X Z^{2} + Y Z^{2} + Z^{3}} \\ - X^{2} Y - X^{2} Z - X Y^{2} - Y^{2} Z - X Z^{2} - Y Z^{2} - 3 X Y Z \\ \underline{- X^{2} Y - X Y^{2} - X Y Z} \\ - X^{2} Z - Y^{2} Z - X Z^{2} - Y Z^{2} - 2 X Y Z \\ \underline{- X Y Z - Y^{2} Z - Y Z^{2}} \\ - X^{2} Z - X Z^{2} - X Y Z \\ \underline{- X^{2} Z - X Y Z - X Z^{2}} \\ 0 \end{array}$

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最終更新日： 2024年6月10日