${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}}$ ${\displaystyle =\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}$

外積の分配法則が成り立つのを図を使い簡単に説明する．

点 ${\displaystyle \text{A}}$ を通り ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ に平行な直線に点 ${\displaystyle \text{O}}$ からおろした垂線の足を点 ${\displaystyle {\text{A}}^{\prime }}$ とすると，平行四辺形 ${\displaystyle \text{OAEC}}$ の面積＝長方形 ${\displaystyle \text{O}{\text{A}}^{\prime }{\text{E}}^{\prime }\text{C}}$ の面積となる．よって

${\displaystyle {\text{OA}}^{\prime }=\frac{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right|}{\left|\overrightarrow{c}\right|}}$

（平行四辺形 ${\displaystyle \text{OAEC}}$ の面積＝ ${\displaystyle \left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\right|}$ ，長方形 ${\displaystyle \text{O}{\text{A}}^{\prime }{\text{E}}^{\prime }\text{C}}$ の面積＝ ${\displaystyle \left|\overrightarrow{c}\right|{\text{OA}}^{\prime }}$ より）

となる．同様にして

${\displaystyle {\text{OB}}^{\prime }=\frac{\left|\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right|}{\left|\overrightarrow{c}\right|}}$ ， ${\displaystyle {\text{OD}}^{\prime }=\frac{\left|\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}\right|}{\left|\overrightarrow{c}\right|}}$  

となる．

また， ${\displaystyle \text{O}{\text{A}}^{\prime }}$ ， ${\displaystyle \text{O}{\text{B}}^{\prime }}$ ， ${\displaystyle \text{O}{\text{D}}^{\prime }}$ は ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ に垂直で， ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}$ ， ${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}}$ も ${\displaystyle \overrightarrow{c}}$ に垂直である．よって， ${\displaystyle \text{O}{\text{A}}^{\prime }}$ ， ${\displaystyle \text{O}{\text{B}}^{\prime }}$ ， ${\displaystyle \text{O}{\text{D}}^{\prime }}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}$ ， ${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}}$ は同一平面上にある．

さらに，外積の定義より， ${\displaystyle \text{O}{\text{A}}^{\prime }}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}}$ ， ${\displaystyle \text{O}{\text{B}}^{\prime }}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}$ ， ${\displaystyle \text{O}{\text{D}}^{\prime }}$ と ${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}}$ は垂直な関係である．

以上より，下図を参照すると，平行四辺形 ${\displaystyle \text{O}{\text{A}}^{\prime }{\text{D}}^{\prime }{\text{B}}^{\prime }}$ を点 ${\displaystyle \text{O}}$ を中心として90°時計方向に回転し， ${\displaystyle \left|\overrightarrow{c}\right|}$ 倍したものが平行四辺形 ${\displaystyle \text{OHIJ}}$ となる．

したがって，

${\displaystyle \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}}$  

となる．

● ${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}}$ について

${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)}$ ${\displaystyle =-\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\times \overrightarrow{a}}$

${\displaystyle =-\left\{\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\times \overrightarrow{a}\right\}}$

${\displaystyle =-\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}\right)}$

${\displaystyle =-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{a}}$

${\displaystyle =\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}}$

　

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最終更新日 2023年2月20日