内積・外積についての公式 2 の証明

内積・外積についての公式 2 の証明 (proof of formula 2 for inner product and cross product)

公式   A × ( B × C ) = ( A C ) B ( A B ) C   の証明

[証明]

ベクトル  A = ( Ax , Ay , Az ) B = ( Bx , By , Bz ) C = ( Cx , Cy , Cz )  に対して,

B × C = ( ByCz BzCy , BzCx BxCz , BxCy ByCx )
         = ( ByCz BzCy ) i + ( BzCx BxCz ) j + ( BxCy ByCx ) k

なので,

A × ( B × C ) = { Ay ( BxCy ByCx ) Az ( BzCx BxCz ) } i

+ { Az ( ByCz BzCy ) Ax ( BxCy ByCx ) } j

+ { Ax ( BzCx BxCz ) Ay ( ByCz BzCy ) } k

= { ( AyCy + AzCz ) Bx ( AyBy + AzBz ) Cx } i

+ { ( AxCx + AzCz ) By ( AxBx + AzBz ) Cy } j

+ { ( AxCx + AyCy ) Bz ( AxBx + AyBy ) Cz } k

= { ( AxCx + AyCy + AzCz ) Bx ( AxBx + AyBy + AzBz ) Cx } i

+ { ( AxCx + AyCy + AzCz ) By ( AxBx + AyBy + AzBz ) Cy } j

+ { ( AxCx + AyCy + AzCz ) Bz ( AxBx + AyBy + AzBz ) Cz } k

= { ( A C ) Bx ( A B ) Cx } i

+ { ( A C ) By ( A B ) Cy } j

+ { ( A C ) Bz ( A B ) Cz } k

= ( A C ) B ( A B ) C

となる.(証明終)

ちなみに,

B × ( C × A ) = ( B A ) C ( B C ) A
C × ( A × B ) = ( C B ) A ( C A ) B

であり,

A × ( B × C ) + B × ( C × A ) + C × ( A × B ) =0

が成り立つので,ヤコビ恒等式を満たす.


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最終更新日2023年2月20日