公式 A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B ) C の証明
[証明]
ベクトル A = ( Ax , Ay , Az ) , B = ( Bx , By , Bz ) , C = ( Cx , Cy , Cz ) に対して,
B × C = ( ByCz − BzCy , BzCx − BxCz , BxCy − ByCx ) = ( ByCz − BzCy ) i + ( BzCx − BxCz ) j + ( BxCy − ByCx ) k
なので,
A × ( B × C ) = { Ay ( BxCy − ByCx ) − Az ( BzCx − BxCz ) } i
+ { Az ( ByCz − BzCy ) − Ax ( BxCy − ByCx ) } j
+ { Ax ( BzCx − BxCz ) − Ay ( ByCz − BzCy ) } k
= { ( AyCy + AzCz ) Bx − ( AyBy + AzBz ) Cx } i
+ { ( AxCx + AzCz ) By − ( AxBx + AzBz ) Cy } j
+ { ( AxCx + AyCy ) Bz − ( AxBx + AyBy ) Cz } k
= { ( AxCx + AyCy + AzCz ) Bx − ( AxBx + AyBy + AzBz ) Cx } i
+ { ( AxCx + AyCy + AzCz ) By − ( AxBx + AyBy + AzBz ) Cy } j
+ { ( AxCx + AyCy + AzCz ) Bz − ( AxBx + AyBy + AzBz ) Cz } k
= { ( A ⋅ C ) Bx − ( A ⋅ B ) Cx } i
+ { ( A ⋅ C ) By − ( A ⋅ B ) Cy } j
+ { ( A ⋅ C ) Bz − ( A ⋅ B ) Cz } k
= ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B ) C
となる.(証明終)
ちなみに,
B × ( C × A ) = ( B ⋅ A ) C − ( B ⋅ C ) A C × ( A × B ) = ( C ⋅ B ) A − ( C ⋅ A ) B
であり,
A × ( B × C ) + B × ( C × A ) + C × ( A × B ) =0
が成り立つので,ヤコビ恒等式を満たす.
ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>内積・外積についての公式>>内積・外積についての公式 2 の証明
最終更新日2023年2月20日